Номер 36, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 36, страница 14.

36. (Для работы в парах.) Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$;

б) $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$.

1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

а) Построим график функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $2x + 10 \neq 0$. Решив это неравенство, получаем $2x \neq -10$, и, следовательно, $x \neq -5$. Область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Далее упростим выражение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $x^2 - 25$ является разностью квадратов: $(x - 5)(x + 5)$. В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x + 10)$. Ой, $2(x+5)$. Итак, $y = \frac{(x-5)(x+5)}{2(x+5)}$.

Поскольку $x \neq -5$, множитель $(x+5)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить. После сокращения получаем более простую функцию: $y = \frac{x-5}{2}$, что то же самое, что и $y = 0.5x - 2.5$.

Эта функция является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

Если $x = 5$, то $y = 0.5 \cdot 5 - 2.5 = 2.5 - 2.5 = 0$. Получаем точку $(5, 0)$.

Если $x = 1$, то $y = 0.5 \cdot 1 - 2.5 = 0.5 - 2.5 = -2$. Получаем точку $(1, -2)$.

Теперь необходимо учесть ограничение из области определения ($x \neq -5$). Это означает, что на графике будет "выколотая" точка в том месте, где $x = -5$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -5$ в упрощенное уравнение прямой: $y(-5) = 0.5 \cdot (-5) - 2.5 = -2.5 - 2.5 = -5$.

Следовательно, точка с координатами $(-5, -5)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$ является прямая $y = 0.5x - 2.5$ с выколотой точкой $(-5, -5)$.

б) Построим график функции $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$.

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 9 \neq 0$. Это значит, что $(x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение. В числителе вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 9)$. В знаменателе имеем разность квадратов $x^2 - 9$. Таким образом, $y = \frac{x(x^2-9)}{x^2-9}$.

Так как $x \neq 3$ и $x \neq -3$, выражение $x^2 - 9$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь. Получаем простую функцию $y = x$.

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат $(0,0)$ и, например, через точку $(1,1)$.

Учтем ограничения из ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -3$). На графике будут две выколотые точки.

Найдем их координаты, подставляя значения $x$ в упрощенную функцию $y=x$:

При $x = 3$, $y = 3$. Координаты первой выколотой точки: $(3, 3)$.

При $x = -3$, $y = -3$. Координаты второй выколотой точки: $(-3, -3)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$ является прямая $y = x$ с двумя выколотыми точками: $(3, 3)$ и $(-3, -3)$.

1) Обсудим, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б), и как это учитывать при построении графиков.

Общая особенность функций в заданиях а) и б) заключается в том, что они обе заданы в виде дробей (рациональных функций), у которых числитель и знаменатель имеют общие множители. Это приводит к так называемым устранимым разрывам.

При построении графиков таких функций эту особенность нужно учитывать следующим образом:

Первый шаг — найти область определения функции (ОДЗ), то есть все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Эти "запрещенные" значения $x$ не будут входить в итоговый график.

Второй шаг — упростить дробь, сократив ее на общий множитель числителя и знаменателя. Это возможно сделать, поскольку в области определения этот множитель не равен нулю. В результате получается более простая функция (в данных случаях — линейная).

Третий шаг — построить график упрощенной функции. В наших задачах это прямые линии.

Четвертый шаг — на построенном графике отметить "выколотые" точки. Абсциссы этих точек — это "запрещенные" значения $x$ из ОДЗ. Ординаты выколотых точек находятся путем подстановки этих абсцисс в упрощенное уравнение функции.

Ответ: Общим является наличие общих множителей у числителя и знаменателя, что позволяет упростить функцию. При построении графика нужно сначала найти ОДЗ, затем упростить функцию, построить график упрощенной функции и в конце "выколоть" на нем точки, абсциссы которых не входят в ОДЗ.