Номер 39, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 39, страница 15.

39. Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$?

1.

2.

3.

4.

Рис. 2

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$, проанализируем эту функцию.

1. Нахождение области определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Следовательно, мы должны исключить значения $x$, для которых $x-1 = 0$.

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$. Это означает, что на графике функции в точке с абсциссой $x=1$ будет разрыв, который обычно изображается в виде "выколотой" или пустой точки.

2. Упрощение функционального выражения.
Упростим данное выражение. Воспользуемся свойством квадрата: $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Применительно к нашему числителю это означает, что $(1-x)^2 = (x-1)^2$.

Теперь функция выглядит так:

$y = \frac{(x-1)^2}{x-1}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-1)$:

$y = x-1$

Это означает, что график исходной функции совпадает с графиком прямой линии $y=x-1$ во всех точках, за исключением точки, где $x=1$.

3. Определение координат выколотой точки.
Чтобы найти координаты точки разрыва, подставим значение $x=1$ в уравнение прямой $y=x-1$:

$y = 1 - 1 = 0$

Следовательно, на графике функции будет выколотая точка с координатами $(1, 0)$.

4. Анализ предложенных графиков.
Теперь рассмотрим каждый из четырех предложенных графиков:

• Графики 1 и 3: На них изображены убывающие прямые. Угловой коэффициент этих прямых отрицателен. Наша функция $y=x-1$ является возрастающей (угловой коэффициент равен 1). Следовательно, эти графики не подходят.
• График 4: На нем изображена возрастающая прямая $y=x-1$. Она проходит через точки $(0,-1)$ и $(2,1)$, что соответствует уравнению. Однако эта линия является сплошной, без разрывов. Это противоречит тому, что функция не определена при $x=1$.
• График 2: На нем также изображена возрастающая прямая $y=x-1$. Важно отметить, что в точке $(1,0)$ на этом графике показана выколотая точка (пустой кружок). Это в точности соответствует нашему анализу: график функции $y=x-1$ с разрывом в точке $(1,0)$.

Таким образом, правильный график представлен под номером 2.

Ответ: 2.