Номер 44, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 44, страница 16.

44. Сократите дробь:

а) $\frac{(2a-2b)^2}{a-b}$;

б) $\frac{(3c+9d)^2}{c+3d}$;

В) $\frac{(3x+6y)^2}{5x+10y}$;

Г) $\frac{4x^2-y^2}{(10x+5y)^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$, необходимо разложить числитель на множители.
1. Вынесем общий множитель 2 за скобки в выражении $(2a - 2b)$:
$2a - 2b = 2(a - b)$.
2. Теперь возведем полученное выражение в квадрат, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:
$(2(a - b))^2 = 2^2 \cdot (a - b)^2 = 4(a - b)^2$.
3. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:
$\frac{4(a - b)^2}{a - b}$.
4. Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a - b \neq 0$:
$\frac{4(a - b)(a - b)}{a - b} = 4(a - b)$.
Ответ: $4(a - b)$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}$. Для ее сокращения преобразуем числитель.
1. В выражении $(3c + 9d)$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3c + 9d = 3(c + 3d)$.
2. Возведем в квадрат:
$(3(c + 3d))^2 = 3^2 \cdot (c + 3d)^2 = 9(c + 3d)^2$.
3. Подставим результат в исходную дробь:
$\frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d}$.
4. Сократим на общий множитель $(c + 3d)$, при условии, что $c + 3d \neq 0$:
$\frac{9(c + 3d)(c + 3d)}{c + 3d} = 9(c + 3d)$.
Ответ: $9(c + 3d)$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$. Для ее сокращения разложим на множители числитель и знаменатель.
1. В числителе вынесем общий множитель 3 из выражения $(3x + 6y)$ и возведем в квадрат:
$(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 3^2 (x + 2y)^2 = 9(x + 2y)^2$.
2. В знаменателе вынесем общий множитель 5:
$5x + 10y = 5(x + 2y)$.
3. Дробь примет вид:
$\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$.
4. Сократим на общий множитель $(x + 2y)$, при условии, что $x + 2y \neq 0$:
$\frac{9(x + 2y)(x + 2y)}{5(x + 2y)} = \frac{9(x + 2y)}{5}$.
Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{4x^2 - y^2}{(10x + 5y)^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
1. Числитель $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.
2. В знаменателе сначала вынесем общий множитель 5 из выражения $(10x + 5y)$, а затем возведем в квадрат:
$(10x + 5y)^2 = (5(2x + y))^2 = 5^2 (2x + y)^2 = 25(2x + y)^2$.
3. Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)^2}$.
4. Сократим на общий множитель $(2x + y)$, при условии, что $2x + y \neq 0$:
$\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)(2x + y)} = \frac{2x - y}{25(2x + y)}$.
Ответ: $\frac{2x - y}{25(2x + y)}$.