Страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^8+a^5}{a^5+a^2}$ при $a=-\frac{1}{2}$;

б) $\frac{b^{10}-b^8}{b^8-b^6}$ при $b=-0,1$.

а)

Для нахождения значения выражения $\frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$, сперва необходимо его упростить.

1. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе дроби. В числителе это $a^5$, а в знаменателе $a^2$:

$\frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)}$

2. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(a^3 + 1)$. Мы можем сократить дробь на этот множитель, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие для $a = -\frac{1}{2}$:

$(-\frac{1}{2})^3 + 1 = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} \neq 0$

Поскольку условие выполняется, сокращаем дробь:

$\frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)} = \frac{a^5}{a^2}$

3. Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n})$:

$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$

4. Теперь подставим значение $a = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$a^3 = (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6}$ при $b = -0,1$, также начнем с упрощения.

1. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $b^8$, а в знаменателе $b^6$:

$\frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)}$

2. Сократим дробь на общий множитель $(b^2 - 1)$, предварительно проверив, что он не равен нулю при $b = -0,1$:

$(-0,1)^2 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99 \neq 0$

Условие выполняется, поэтому сокращаем:

$\frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)} = \frac{b^8}{b^6}$

3. Применим свойство частного степеней:

$\frac{b^8}{b^6} = b^{8-6} = b^2$

4. Подставим значение $b = -0,1$ в упрощенное выражение:

$b^2 = (-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$

Ответ: $0,01$

45. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях $a$, отличных от $-2$ и $2$, значение дроби $\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4}$ является отрицательным числом?

1) Выберите произвольное значение $a$, отличное от $-2$ и $2$, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

1) Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

Выберем произвольное значение $a$, например, $a=0$. Это значение отлично от $-2$ и $2$. Подставим его в дробь $ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $:

$ \frac{0^2 - 4}{12 + 0^2 - 0^4} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $

Полученное значение $ -\frac{1}{3} $ является отрицательным числом, то есть меньше нуля.

Ответ: При $a=0$, значение дроби равно $ -\frac{1}{3} $, что является отрицательным числом.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

Чтобы определить знак дроби для всех допустимых значений $a$, необходимо проанализировать знаки ее числителя и знаменателя. Для этого наиболее удобным преобразованием является разложение числителя и знаменателя на множители. Это позволит, во-первых, упростить (сократить) дробь, а во-вторых, проанализировать знаки получившихся множителей.

Ответ: Разложение числителя и знаменателя дроби на множители поможет найти ответ на вопрос задачи.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Исходная дробь: $ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $.

Теперь разложим на множители знаменатель $ 12 + a^2 - a^4 $. Перепишем его в виде $ -(a^4 - a^2 - 12) $. Сделаем замену переменной: пусть $t = a^2$. Тогда выражение в скобках примет вид $ t^2 - t - 12 $. Найдем корни квадратного уравнения $ t^2 - t - 12 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = -3 $. Следовательно, $ t^2 - t - 12 = (t - 4)(t + 3) $. Вернемся к переменной $a$: $ a^4 - a^2 - 12 = (a^2 - 4)(a^2 + 3) $. Таким образом, знаменатель равен $ -(a^2 - 4)(a^2 + 3) $.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} $

По условию задачи, $a$ отлично от $-2$ и $2$, следовательно, $ a^2 \neq 4 $, а значит $ a^2 - 4 \neq 0 $. Это позволяет нам сократить дробь на множитель $ (a^2 - 4) $: $ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} = \frac{1}{-(a^2 + 3)} = -\frac{1}{a^2 + 3} $

Проанализируем знак полученного выражения. Для любого действительного числа $a$ значение $a^2$ является неотрицательным: $a^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $ a^2 + 3 $ всегда будет положительным числом, так как $ a^2 + 3 \ge 3 $. Если знаменатель $ (a^2 + 3) $ положителен, то дробь $ \frac{1}{a^2 + 3} $ также всегда положительна. Знак "минус" перед дробью делает все выражение отрицательным.

Таким образом, при всех значениях $a$, отличных от $-2$ и $2$, значение дроби $ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $ равно $ -\frac{1}{a^2 + 3} $, что всегда является отрицательным числом.

Ответ: Да, утверждение верно. При всех значениях $a$, отличных от $-2$ и $2$, значение дроби является отрицательным числом.

47. Приведите к знаменателю $24a^3b^2$ следующие дроби: $\frac{5b}{8a^3}$, $\frac{7a}{3b^2}$, $\frac{1}{2ab}$, $\frac{2}{a^2b^2}$.

Чтобы привести дроби к знаменателю $24a^3b^2$, для каждой дроби необходимо найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный. Затем нужно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель.

$\frac{5b}{8a^3}$

Дополнительный множитель для этой дроби равен $\frac{24a^3b^2}{8a^3} = 3b^2$.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на $3b^2$:

$\frac{5b \cdot 3b^2}{8a^3 \cdot 3b^2} = \frac{15b^3}{24a^3b^2}$.

Ответ: $\frac{15b^3}{24a^3b^2}$.

$\frac{7a}{3b^2}$

Дополнительный множитель для этой дроби равен $\frac{24a^3b^2}{3b^2} = 8a^3$.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на $8a^3$:

$\frac{7a \cdot 8a^3}{3b^2 \cdot 8a^3} = \frac{56a^4}{24a^3b^2}$.

Ответ: $\frac{56a^4}{24a^3b^2}$.

$\frac{1}{2ab}$

Дополнительный множитель для этой дроби равен $\frac{24a^3b^2}{2ab} = 12a^2b$.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на $12a^2b$:

$\frac{1 \cdot 12a^2b}{2ab \cdot 12a^2b} = \frac{12a^2b}{24a^3b^2}$.

Ответ: $\frac{12a^2b}{24a^3b^2}$.

$\frac{2}{a^2b^2}$

Дополнительный множитель для этой дроби равен $\frac{24a^3b^2}{a^2b^2} = 24a$.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на $24a$:

$\frac{2 \cdot 24a}{a^2b^2 \cdot 24a} = \frac{48a}{24a^3b^2}$.

Ответ: $\frac{48a}{24a^3b^2}$.

49. Приведите дробь:

а) $\frac{x}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$;

в) $\frac{a}{a-10}$ к знаменателю $10-a$;

б) $\frac{y}{x-a}$ к знаменателю $x^2-a^2$;

г) $\frac{p}{p-2}$ к знаменателю $4-p^2$.

а) Чтобы привести дробь $\frac{x}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$, необходимо определить дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)^2}{a-b} = a-b$

Дополнительный множитель равен $(a-b)$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$.

б) Чтобы привести дробь $\frac{y}{x-a}$ к знаменателю $x^2-a^2$, сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$.

Теперь найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{x^2-a^2}{x-a} = \frac{(x-a)(x+a)}{x-a} = x+a$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(x+a)$:

$\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$

Ответ: $\frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$.

в) Чтобы привести дробь $\frac{a}{a-10}$ к знаменателю $10-a$, заметим, что новый знаменатель является противоположным исходному: $10-a = -(a-10)$.

Следовательно, чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно умножить его на $-1$. Дополнительный множитель равен $-1$.

Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

$\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{-(a-10)} = \frac{-a}{10-a}$

Ответ: $\frac{-a}{10-a}$.

г) Чтобы привести дробь $\frac{p}{p-2}$ к знаменателю $4-p^2$, разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $4-p^2 = (2-p)(2+p)$.

Исходный знаменатель $p-2$ связан с множителем $(2-p)$ соотношением $p-2 = -(2-p)$.

Найдем дополнительный множитель:

$\frac{4-p^2}{p-2} = \frac{(2-p)(2+p)}{-(2-p)} = -(2+p) = -p-2$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(p+2)$:

$\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \frac{-p(p+2)}{-(p-2)(p+2)} = \frac{-p(p+2)}{-(p^2-4)} = \frac{-p(p+2)}{4-p^2}$

Ответ: $\frac{-p(p+2)}{4-p^2}$.

44. Сократите дробь:

а) $\frac{(2a-2b)^2}{a-b}$;

б) $\frac{(3c+9d)^2}{c+3d}$;

В) $\frac{(3x+6y)^2}{5x+10y}$;

Г) $\frac{4x^2-y^2}{(10x+5y)^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$, необходимо разложить числитель на множители.
1. Вынесем общий множитель 2 за скобки в выражении $(2a - 2b)$:
$2a - 2b = 2(a - b)$.
2. Теперь возведем полученное выражение в квадрат, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:
$(2(a - b))^2 = 2^2 \cdot (a - b)^2 = 4(a - b)^2$.
3. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:
$\frac{4(a - b)^2}{a - b}$.
4. Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a - b \neq 0$:
$\frac{4(a - b)(a - b)}{a - b} = 4(a - b)$.
Ответ: $4(a - b)$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}$. Для ее сокращения преобразуем числитель.
1. В выражении $(3c + 9d)$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3c + 9d = 3(c + 3d)$.
2. Возведем в квадрат:
$(3(c + 3d))^2 = 3^2 \cdot (c + 3d)^2 = 9(c + 3d)^2$.
3. Подставим результат в исходную дробь:
$\frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d}$.
4. Сократим на общий множитель $(c + 3d)$, при условии, что $c + 3d \neq 0$:
$\frac{9(c + 3d)(c + 3d)}{c + 3d} = 9(c + 3d)$.
Ответ: $9(c + 3d)$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$. Для ее сокращения разложим на множители числитель и знаменатель.
1. В числителе вынесем общий множитель 3 из выражения $(3x + 6y)$ и возведем в квадрат:
$(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 3^2 (x + 2y)^2 = 9(x + 2y)^2$.
2. В знаменателе вынесем общий множитель 5:
$5x + 10y = 5(x + 2y)$.
3. Дробь примет вид:
$\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$.
4. Сократим на общий множитель $(x + 2y)$, при условии, что $x + 2y \neq 0$:
$\frac{9(x + 2y)(x + 2y)}{5(x + 2y)} = \frac{9(x + 2y)}{5}$.
Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{4x^2 - y^2}{(10x + 5y)^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
1. Числитель $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.
2. В знаменателе сначала вынесем общий множитель 5 из выражения $(10x + 5y)$, а затем возведем в квадрат:
$(10x + 5y)^2 = (5(2x + y))^2 = 5^2 (2x + y)^2 = 25(2x + y)^2$.
3. Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)^2}$.
4. Сократим на общий множитель $(2x + y)$, при условии, что $2x + y \neq 0$:
$\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)(2x + y)} = \frac{2x - y}{25(2x + y)}$.
Ответ: $\frac{2x - y}{25(2x + y)}$.

46. Докажите, что значение дроби не зависит от $n$, где $n$ — натуральное число:

а) $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}$

б) $\frac{16^{n+1} - 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} - 1)}$

a)

Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}$ не зависит от натурального числа $n$, необходимо упростить это выражение. Для этого воспользуемся свойствами степеней, в частности, правилом $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
Сначала преобразуем числитель дроби. Вынесем за скобки общий множитель $3^n$:
$3^{n+2} - 3^n = 3^n \cdot 3^2 - 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 - 1) = 3^n(9 - 1) = 8 \cdot 3^n$.
Теперь преобразуем знаменатель дроби. Также вынесем за скобки общий множитель $3^n$:
$3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 + 3 + 1) = 3^n(9 + 3 + 1) = 13 \cdot 3^n$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{8 \cdot 3^n}{13 \cdot 3^n}$.
Так как $n$ — натуральное число, то $3^n \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $3^n$:
$\frac{8 \cdot \cancel{3^n}}{13 \cdot \cancel{3^n}} = \frac{8}{13}$.
В результате мы получили число, которое не содержит переменную $n$. Следовательно, значение дроби не зависит от $n$.

Ответ: $\frac{8}{13}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{16^{n+1} - 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} - 1)}$. Чтобы доказать, что её значение не зависит от $n$, упростим выражение, приведя все степени к основанию 2. Вспомним, что $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$.
Преобразуем числитель, используя свойства степеней $(a^b)^c = a^{bc}$ и $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$:
$16^{n+1} - 2^{n+4} = (2^4)^{n+1} - 2^{n+4} = 2^{4(n+1)} - 2^{n+4} = 2^{4n+4} - 2^{n+4}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{n+4}$:
$2^{4n+4} - 2^{n+4} = 2^{3n} \cdot 2^{n+4} - 1 \cdot 2^{n+4} = 2^{n+4}(2^{3n} - 1)$.
Теперь преобразуем знаменатель:
$4 \cdot 2^n (2^{3n} - 1) = 2^2 \cdot 2^n (2^{3n} - 1) = 2^{n+2}(2^{3n} - 1)$.
Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:
$\frac{2^{n+4}(2^{3n} - 1)}{2^{n+2}(2^{3n} - 1)}$.
Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $3n \ge 3$, и $2^{3n} \ge 8$. Следовательно, выражение $(2^{3n} - 1)$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь на него:
$\frac{2^{n+4}\cancel{(2^{3n} - 1)}}{2^{n+2}\cancel{(2^{3n} - 1)}} = \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}$.
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$, получим:
$2^{(n+4) - (n+2)} = 2^{n+4-n-2} = 2^2 = 4$.
Полученное значение 4 является постоянной величиной и не зависит от $n$.

Ответ: 4.

48. Представьте выражение $2a + b$ в виде дроби со знаменателем, равным:

а) $b$; б) $5$; в) $3a$; г) $2a - b$.

Чтобы представить выражение в виде дроби с заданным знаменателем, необходимо это выражение умножить и разделить на требуемый знаменатель. Любое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1. В данном случае, $2a + b = \frac{2a+b}{1}$.

а) Требуется представить выражение в виде дроби со знаменателем $b$.

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2a+b}{1}$ на $b$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot b}{1 \cdot b} = \frac{2ab + b^2}{b}$

Ответ: $\frac{2ab + b^2}{b}$

б) Требуется представить выражение в виде дроби со знаменателем $5$.

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2a+b}{1}$ на $5$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{10a + 5b}{5}$

Ответ: $\frac{10a + 5b}{5}$

в) Требуется представить выражение в виде дроби со знаменателем $3a$.

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2a+b}{1}$ на $3a$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot 3a}{1 \cdot 3a} = \frac{6a^2 + 3ab}{3a}$

Ответ: $\frac{6a^2 + 3ab}{3a}$

г) Требуется представить выражение в виде дроби со знаменателем $2a - b$.

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2a+b}{1}$ на $2a - b$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot (2a - b)}{1 \cdot (2a - b)} = \frac{(2a + b)(2a - b)}{2a - b}$

В числителе дроби мы видим произведение суммы и разности двух выражений. Применим формулу сокращенного умножения (разность квадратов): $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{4a^2 - b^2}{2a - b}$

Ответ: $\frac{4a^2 - b^2}{2a - b}$

50. Решите уравнение:

а) $-5x = 16;$

б) $2x = \frac{1}{5};$

в) $\frac{1}{3}x = 4;$

г) $4x = -2;$

д) $0,6x = 3;$

е) $-0,7x = 5.$

а) Дано уравнение: $-5x = 16$.

Это линейное уравнение вида $ax=b$. Чтобы найти неизвестное $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-5$.

$x = \frac{16}{-5}$

Выполняем деление, в результате получаем десятичную дробь.

$x = -3,2$

Ответ: $-3,2$.

б) Дано уравнение: $2x = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на известный множитель 2.

$x = \frac{1}{5} : 2$

Деление на число равносильно умножению на обратное ему число, то есть $x = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}$.

$x = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

в) Дано уравнение: $\frac{1}{3}x = 4$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $\frac{1}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на 3.

$x = 4 : \frac{1}{3}$

$x = 4 \cdot 3$

$x = 12$

Ответ: 12.

г) Дано уравнение: $4x = -2$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4.

$x = \frac{-2}{4}$

Сокращаем дробь на 2.

$x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0,5$

Ответ: $-0,5$.

д) Дано уравнение: $0,6x = 3$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,6.

$x = \frac{3}{0,6}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10.

$x = \frac{3 \cdot 10}{0,6 \cdot 10} = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Ответ: 5.

е) Дано уравнение: $-0,7x = 5$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-0,7$.

$x = \frac{5}{-0,7}$

Перенесем знак минуса перед дробью и умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби.

$x = -\frac{5 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = -\frac{50}{7}$

Дробь является несократимой, оставим ответ в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $-\frac{50}{7}$.