Страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

54. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{m}{2p} - \frac{m-p}{2p}; $

б) $ \frac{a+b}{6} - \frac{a-2b}{6}; $

в) $ \frac{7y-13}{10y} - \frac{2y+3}{10y}; $

г) $ \frac{8c+25}{6c} + \frac{5-2c}{6c}. $

а) Для того чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Поскольку перед второй дробью стоит знак минус, ее числитель необходимо взять в скобки.
$ \frac{m}{2p} - \frac{m-p}{2p} = \frac{m - (m-p)}{2p} $
Теперь раскроем скобки в числителе. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.
$ \frac{m - m + p}{2p} = \frac{p}{2p} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель $p$ (при условии, что $p \ne 0$).
$ \frac{p}{2p} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $6$.
$ \frac{a+b}{6} - \frac{a-2b}{6} = \frac{(a+b) - (a-2b)}{6} $
Раскроем скобки в числителе.
$ \frac{a+b-a+2b}{6} $
Приведем подобные слагаемые в числителе.
$ \frac{(a-a) + (b+2b)}{6} = \frac{3b}{6} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3.
$ \frac{3b}{6} = \frac{b}{2} $
Ответ: $ \frac{b}{2} $

в) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $10y$.
$ \frac{7y-13}{10y} - \frac{2y+3}{10y} = \frac{(7y-13) - (2y+3)}{10y} $
Раскроем скобки в числителе, изменив знаки второго выражения.
$ \frac{7y-13-2y-3}{10y} $
Приведем подобные слагаемые.
$ \frac{(7y-2y) + (-13-3)}{10y} = \frac{5y-16}{10y} $
Данную дробь сократить нельзя, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.
Ответ: $ \frac{5y-16}{10y} $

г) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
$ \frac{8c+25}{6c} + \frac{5-2c}{6c} = \frac{(8c+25) + (5-2c)}{6c} $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе.
$ \frac{8c+25+5-2c}{6c} = \frac{(8c-2c) + (25+5)}{6c} = \frac{6c+30}{6c} $
Чтобы упростить дробь, вынесем общий множитель 6 за скобки в числителе.
$ \frac{6(c+5)}{6c} $
Сократим дробь на 6 (при условии, что $c \ne 0$).
$ \frac{c+5}{c} $
Ответ: $ \frac{c+5}{c} $

56. Упростите выражение:

а) $ \frac{17 - 12x}{x} - \frac{10 - x}{x}; $

б) $ \frac{12p - 1}{3p^2} - \frac{1 - 3p}{3p^2}; $

в) $ \frac{6y - 3}{5y} - \frac{y + 2}{5y}; $

г) $ \frac{3p - q}{5p} - \frac{2p + 6q}{5p} + \frac{p - 4q}{5p}; $

д) $ \frac{5c - 2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d - 5c}{4c}; $

е) $ \frac{2a}{b} - \frac{1 - 6a}{b} + \frac{13 - 8a}{b}. $

а) Так как у дробей $\frac{17-12x}{x}$ и $\frac{10-x}{x}$ одинаковый знаменатель $x$, мы можем вычесть их числители, записав результат над общим знаменателем. Важно не забыть поставить скобки у вычитаемого числителя: $\frac{17-12x}{x} - \frac{10-x}{x} = \frac{(17-12x) - (10-x)}{x}$. Раскроем скобки в числителе, меняя знаки на противоположные: $\frac{17-12x-10+x}{x}$. Приведем подобные слагаемые: $(17-10) + (-12x+x) = 7 - 11x$. В результате получаем: $\frac{7-11x}{x}$.
Ответ: $\frac{7-11x}{x}$.

б) Знаменатели дробей $\frac{12p-1}{3p^2}$ и $\frac{1-3p}{3p^2}$ одинаковы и равны $3p^2$. Выполним вычитание числителей: $\frac{(12p-1) - (1-3p)}{3p^2}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{12p-1-1+3p}{3p^2}$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(12p+3p) + (-1-1) = 15p - 2$. Итоговое выражение: $\frac{15p-2}{3p^2}$.
Ответ: $\frac{15p-2}{3p^2}$.

в) У дробей $\frac{6y-3}{5y}$ и $\frac{y+2}{5y}$ общий знаменатель $5y$. Вычтем числители: $\frac{(6y-3) - (y+2)}{5y}$. Раскроем скобки: $\frac{6y-3-y-2}{5y}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(6y-y) + (-3-2) = 5y-5$. Получаем дробь $\frac{5y-5}{5y}$. Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе: $\frac{5(y-1)}{5y}$. Сократим дробь на 5: $\frac{y-1}{y}$.
Ответ: $\frac{y-1}{y}$.

г) Все три дроби имеют одинаковый знаменатель $5p$. Выполним сложение и вычитание числителей: $\frac{3p-q}{5p} - \frac{2p+6q}{5p} + \frac{p-4q}{5p} = \frac{(3p-q) - (2p+6q) + (p-4q)}{5p}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{3p-q-2p-6q+p-4q}{5p}$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые для переменной $p$ и для переменной $q$: $(3p-2p+p) + (-q-6q-4q) = 2p - 11q$. Получаем выражение: $\frac{2p-11q}{5p}$.
Ответ: $\frac{2p-11q}{5p}$.

д) Знаменатель всех дробей равен $4c$. Объединим числители под общим знаменателем: $\frac{5c-2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d-5c}{4c} = \frac{(5c-2d) - 3d + (d-5c)}{4c}$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{5c-2d-3d+d-5c}{4c}$. Сгруппируем подобные: $(5c-5c) + (-2d-3d+d) = 0 - 4d = -4d$. Получаем дробь $\frac{-4d}{4c}$. Сократим дробь на общий множитель 4: $-\frac{d}{c}$.
Ответ: $-\frac{d}{c}$.

е) Все дроби имеют общий знаменатель $b$. Выполним действия с числителями: $\frac{2a}{b} - \frac{1-6a}{b} + \frac{13-8a}{b} = \frac{2a - (1-6a) + (13-8a)}{b}$. Раскроем скобки: $\frac{2a - 1 + 6a + 13 - 8a}{b}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(2a+6a-8a) + (-1+13) = (8a-8a) + 12 = 0 + 12 = 12$. Итоговое выражение: $\frac{12}{b}$.
Ответ: $\frac{12}{b}$.

53. Выполните сложение или вычитание:

а) $\frac{x}{3} + \frac{y}{3};$

б) $\frac{5b^2}{a} - \frac{13b^2}{a};$

в) $\frac{x+y}{9} - \frac{x}{9};$

г) $\frac{2c-x}{b} + \frac{x}{b}.$

а) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном примере общий знаменатель равен $3$. Выполняем сложение числителей: $x+y$. Таким образом, получаем: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = \frac{x+y}{3}$.
Ответ: $\frac{x+y}{3}$.

б) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений. Общий знаменатель равен $a$. Выполняем вычитание в числителе: $5b^2 - 13b^2$. Так как это подобные слагаемые, их можно упростить: $(5-13)b^2 = -8b^2$. В результате получаем: $\frac{5b^2}{a} - \frac{13b^2}{a} = \frac{5b^2 - 13b^2}{a} = \frac{-8b^2}{a}$.
Ответ: $-\frac{8b^2}{a}$.

в) Дроби имеют общий знаменатель $9$. Выполняем вычитание числителей: $(x+y) - x$. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $x+y-x = y$. В итоге получаем: $\frac{x+y}{9} - \frac{x}{9} = \frac{x+y-x}{9} = \frac{y}{9}$.
Ответ: $\frac{y}{9}$.

г) Дроби имеют общий знаменатель $b$. Выполняем сложение числителей: $(2c-x) + x$. Упрощаем выражение в числителе, приводя подобные слагаемые: $2c-x+x = 2c$. В результате сложения дробей получаем: $\frac{2c-x}{b} + \frac{x}{b} = \frac{2c-x+x}{b} = \frac{2c}{b}$.
Ответ: $\frac{2c}{b}$.

55. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:

а) $\frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy}$;

б) $\frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b}$;

в) $\frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a}$;

г) $\frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy} = \frac{(2x - 3y) + (11y - 2x)}{4xy}$
Теперь упростим выражение в числителе, сгруппировав и приведя подобные слагаемые:
$2x - 3y + 11y - 2x = (2x - 2x) + (11y - 3y) = 0 + 8y = 8y$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{8y}{4xy}$
Сократим полученную дробь на общий множитель $4y$:
$\frac{8y}{4xy} = \frac{2}{x}$
Ответ: $\frac{2}{x}$

б) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же. Обратите внимание, что знак "минус" перед второй дробью применяется ко всему ее числителю.
$\frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b} = \frac{(5a + b^5) - (5a - 7b^5)}{8b}$
Раскроем скобки в числителе, изменив знаки у членов второго выражения на противоположные:
$5a + b^5 - 5a + 7b^5 = (5a - 5a) + (b^5 + 7b^5) = 8b^5$
Подставим результат в дробь:
$\frac{8b^5}{8b}$
Сократим дробь на общий множитель $8b$:
$\frac{8b^5}{8b} = b^{5-1} = b^4$
Ответ: $b^4$

в) В данном выражении все три дроби имеют одинаковый знаменатель. Выполним сложение и вычитание их числителей.
$\frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a} = \frac{(a - 2) + (2a + 5) - (3 - a)}{8a}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$a - 2 + 2a + 5 - 3 + a = (a + 2a + a) + (-2 + 5 - 3) = 4a + 0 = 4a$
Получим дробь:
$\frac{4a}{8a}$
Сократим дробь на $4a$:
$\frac{4a}{8a} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Все дроби в выражении имеют общий знаменатель $4a$. Объединим числители, выполняя соответствующие операции.
$\frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a} = \frac{(11a - 2b) + (2a - 3b) - (a - b)}{4a}$
Упростим числитель, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:
$11a - 2b + 2a - 3b - a + b = (11a + 2a - a) + (-2b - 3b + b) = 12a - 4b$
Запишем новую дробь:
$\frac{12a - 4b}{4a}$
Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки и сократим дробь:
$\frac{4(3a - b)}{4a} = \frac{3a - b}{a}$
Ответ: $\frac{3a - b}{a}$