Номер 59, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 59, страница 20.

59. Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{a - 6}$ при $a = 10,25;$

б) $\frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9}$ при $b = 3,5.$

а) Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Поскольку обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a - 6$, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{a - 6} = \frac{(a^2 - 43) - 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 43 - 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 50}{a - 6}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $a = 10,25$. Для удобства вычислений представим $10,25$ в виде обыкновенной дроби: $10,25 = 10\frac{25}{100} = 10\frac{1}{4} = \frac{41}{4}$.

Подставляем это значение в выражение:

$\frac{(\frac{41}{4})^2 - 50}{\frac{41}{4} - 6}$

Сначала вычислим значение числителя:

$(\frac{41}{4})^2 - 50 = \frac{1681}{16} - 50 = \frac{1681}{16} - \frac{50 \cdot 16}{16} = \frac{1681 - 800}{16} = \frac{881}{16}$

Затем вычислим значение знаменателя:

$\frac{41}{4} - 6 = \frac{41}{4} - \frac{6 \cdot 4}{4} = \frac{41 - 24}{4} = \frac{17}{4}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{881}{16}}{\frac{17}{4}} = \frac{881}{16} \cdot \frac{4}{17} = \frac{881 \cdot 4}{16 \cdot 17} = \frac{881}{4 \cdot 17} = \frac{881}{68}$

Можно выделить целую часть из неправильной дроби:

$881 \div 68 = 12$ (остаток $65$), так как $12 \cdot 68 = 816$ и $881 - 816 = 65$.

Следовательно, результат равен $12\frac{65}{68}$.

Ответ: $12\frac{65}{68}$

б) Упростим данное выражение. Так как знаменатели дробей одинаковы, $b^2 - 9$, выполним вычитание числителей:

$\frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9} = \frac{(9b - 1) - (6b - 10)}{b^2 - 9}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$\frac{9b - 1 - 6b + 10}{b^2 - 9} = \frac{(9b - 6b) + (-1 + 10)}{b^2 - 9} = \frac{3b + 9}{b^2 - 9}$

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $3$ за скобки. Знаменатель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{3(b + 3)}{b^2 - 3^2} = \frac{3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b + 3)$, при условии, что $b+3 \neq 0$ (что верно для $b=3,5$):

$\frac{3}{b - 3}$

Подставим значение $b = 3,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{3}{3,5 - 3} = \frac{3}{0,5}$

Для вычисления разделим $3$ на $0,5$ (что то же самое, что умножить на 2):

$\frac{3}{0,5} = 6$

Ответ: $6$