Номер 63, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 63, страница 20.

63. Докажите, что при всех допустимых значениях $x$ значение вы-ражения не зависит от $x$:

a) $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$;

б) $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, мы должны его упростить. Исходное выражение:

$\frac{3x + 5}{2x - 1} + \frac{7x + 3}{1 - 2x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатели не должны быть равны нулю: $2x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq \frac{1}{2}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби является противоположным знаменателю первой дроби: $1 - 2x = -(2x - 1)$. Используем это свойство, чтобы привести дроби к общему знаменателю.

$\frac{3x + 5}{2x - 1} + \frac{7x + 3}{-(2x - 1)} = \frac{3x + 5}{2x - 1} - \frac{7x + 3}{2x - 1}$

Теперь, когда у дробей общий знаменатель, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{(3x + 5) - (7x + 3)}{2x - 1} = \frac{3x + 5 - 7x - 3}{2x - 1} = \frac{-4x + 2}{2x - 1}$

Вынесем в числителе общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2x - 1)}{2x - 1}$

Поскольку $x \neq \frac{1}{2}$, мы можем сократить дробь на $(2x - 1)$:

$-2$

Результат упрощения — число $-2$, которое не зависит от переменной $x$. Это доказывает утверждение.

Ответ: $-2$.

б) Рассмотрим второе выражение и докажем, что его значение также не зависит от $x$, упростив его:

$\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{20 - 5x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $5x - 20 \neq 0$ и $20 - 5x \neq 0$. Оба этих условия эквивалентны $5x \neq 20$, то есть $x \neq 4$.

Знаменатель второй дроби $20 - 5x$ можно представить через знаменатель первой: $20 - 5x = -1 \cdot (5x - 20)$. Подставим это в выражение:

$\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{-(5x - 20)} = \frac{5x + 1}{5x - 20} - \frac{x + 17}{5x - 20}$

Объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{(5x + 1) - (x + 17)}{5x - 20} = \frac{5x + 1 - x - 17}{5x - 20} = \frac{4x - 16}{5x - 20}$

Теперь вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{4(x - 4)}{5(x - 4)}$

Так как из ОДЗ следует, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 4)$:

$\frac{4}{5}$

В результате мы получили константу $\frac{4}{5}$, значение которой не зависит от $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{4}{5}$.