Номер 68, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 68, страница 21.

68. Представьте дробь $\frac{5n^2 + 3n + 6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.

Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Представьте дробь $\frac{5n^2+3n+6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.

Чтобы представить данную дробь в виде суммы, выполним почленное деление числителя на знаменатель. Это равносильно выделению целой части из неправильной алгебраической дроби.

$\frac{5n^2+3n+6}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{6}{n}$

После сокращения каждого слагаемого получаем:

$5n + 3 + \frac{6}{n}$

В полученном выражении $(5n + 3)$ является двучленом (многочленом, состоящим из двух членов), а $\frac{6}{n}$ — дробью. Таким образом, мы представили исходную дробь в требуемом виде.

Ответ: $5n+3+\frac{6}{n}$.

Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Воспользуемся представлением дроби, полученным в предыдущем пункте: $5n+3+\frac{6}{n}$.

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Рассмотрим выражение $5n+3+\frac{6}{n}$. Для любого натурального $n$ произведение $5n$ также является натуральным числом. Сумма натурального числа $5n$ и натурального числа $3$ всегда будет натуральным числом. Таким образом, двучлен $(5n+3)$ принимает натуральные значения при любом натуральном $n$.

Чтобы вся сумма $5n+3+\frac{6}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы и оставшееся слагаемое, дробь $\frac{6}{n}$, также принимало натуральное значение.

Дробь $\frac{6}{n}$ будет являться натуральным числом только в том случае, если ее знаменатель $n$ является натуральным делителем числителя 6.

Найдём все натуральные делители числа 6. Это числа: 1, 2, 3, 6.

Следовательно, исходная дробь принимает натуральные значения только при $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: при $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.