Номер 74, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 74, страница 23.

74. Выполните сложение или вычитание:

а) $\frac{5y - 3}{6y} + \frac{y + 2}{4y};$

б) $\frac{3x + 5}{35x} + \frac{x - 3}{21x};$

в) $\frac{b + 2}{15b} - \frac{3c - 5}{45c};$

г) $\frac{8b + y}{40b} - \frac{6y + b}{30y}.$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{5y-3}{6y} + \frac{y+2}{4y}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $6y$ и $4y$ — это $12y$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это $\frac{12y}{6y} = 2$, для второй — $\frac{12y}{4y} = 3$.
Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и сложим полученные выражения:
$\frac{2 \cdot (5y - 3)}{12y} + \frac{3 \cdot (y + 2)}{12y} = \frac{2(5y - 3) + 3(y + 2)}{12y}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{10y - 6 + 3y + 6}{12y} = \frac{(10y + 3y) + (-6 + 6)}{12y} = \frac{13y}{12y}$
Сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):
$\frac{13}{12}$
Ответ: $\frac{13}{12}$

б) Чтобы сложить дроби $\frac{3x+5}{35x} + \frac{x-3}{21x}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для $35$ и $21$.
$35 = 5 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
НОК(35, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
Таким образом, общий знаменатель равен $105x$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{105x}{35x} = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{105x}{21x} = 5$.
Выполним сложение:
$\frac{3(3x+5) + 5(x-3)}{105x} = \frac{9x + 15 + 5x - 15}{105x}$
Упростим числитель:
$\frac{14x}{105x}$
Сократим дробь на $7x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{b+2}{15b} - \frac{3c-5}{45c}$, найдем наименьший общий знаменатель для $15b$ и $45c$.
НОК(15, 45) = 45. Общий знаменатель будет $45bc$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{45bc}{15b} = 3c$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{45bc}{45c} = b$.
Выполним вычитание:
$\frac{3c(b+2) - b(3c-5)}{45bc} = \frac{3bc + 6c - (3bc - 5b)}{45bc}$
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$\frac{3bc + 6c - 3bc + 5b}{45bc} = \frac{5b + 6c}{45bc}$
Ответ: $\frac{5b + 6c}{45bc}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{8b+y}{40b} - \frac{6y+b}{30y}$, найдем наименьший общий знаменатель для $40b$ и $30y$.
НОК(40, 30) = 120. Общий знаменатель будет $120by$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{120by}{40b} = 3y$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{120by}{30y} = 4b$.
Выполним вычитание:
$\frac{3y(8b+y) - 4b(6y+b)}{120by} = \frac{24by + 3y^2 - (24by + 4b^2)}{120by}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{24by + 3y^2 - 24by - 4b^2}{120by}$
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$\frac{3y^2 - 4b^2}{120by}$
Ответ: $\frac{3y^2 - 4b^2}{120by}$