Номер 71, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 71, страница 21.

71. Разложите на множители:

а) $8x^4 - 16x^3y;$

б) $15xy^5 + 10y^2;$

в) $8a^2 - 50y^2;$

г) $18b^2 - 98a^2;$

д) $x^3 - 125;$

е) $y^3 + 8;$

ж) $ab + 8a + 9b + 72;$

з) $6m - 12 - 2n + mn.$

а) $8x^4 - 16x^3y$

Чтобы разложить выражение на множители, найдем наибольший общий делитель для каждого члена выражения. Для $8x^4$ и $16x^3y$ общим множителем является $8x^3$. Вынесем его за скобки:

$8x^4 - 16x^3y = 8x^3 \cdot x - 8x^3 \cdot 2y = 8x^3(x - 2y)$

Ответ: $8x^3(x - 2y)$

б) $15xy^5 + 10y^2$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для $15xy^5$ и $10y^2$ общим множителем является $5y^2$:

$15xy^5 + 10y^2 = 5y^2 \cdot 3xy^3 + 5y^2 \cdot 2 = 5y^2(3xy^3 + 2)$

Ответ: $5y^2(3xy^3 + 2)$

в) $8a^2 - 50y^2$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 2. Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$8a^2 - 50y^2 = 2(4a^2 - 25y^2) = 2((2a)^2 - (5y)^2) = 2(2a - 5y)(2a + 5y)$

Ответ: $2(2a - 5y)(2a + 5y)$

г) $18b^2 - 98a^2$

Вынесем за скобки общий множитель 2. Полученное в скобках выражение является разностью квадратов, которую мы разложим по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$18b^2 - 98a^2 = 2(9b^2 - 49a^2) = 2((3b)^2 - (7a)^2) = 2(3b - 7a)(3b + 7a)$

Ответ: $2(3b - 7a)(3b + 7a)$

д) $x^3 - 125$

Данное выражение является разностью кубов. Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$. В нашем случае $A=x$ и $B=5$.

$x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$

Ответ: $(x - 5)(x^2 + 5x + 25)$

е) $y^3 + 8$

Данное выражение является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$. В нашем случае $A=y$ и $B=2$.

$y^3 + 8 = y^3 + 2^3 = (y + 2)(y^2 - y \cdot 2 + 2^2) = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)$

Ответ: $(y + 2)(y^2 - 2y + 4)$

ж) $ab + 8a + 9b + 72$

Разложим многочлен на множители методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым. Затем вынесем общие множители из каждой группы.

$ab + 8a + 9b + 72 = (ab + 8a) + (9b + 72) = a(b + 8) + 9(b + 8)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b+8)$:

$(a + 9)(b + 8)$

Ответ: $(a + 9)(b + 8)$

з) $6m - 12 - 2n + mn$

Используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Вынесем общие множители из каждой группы.

$6m - 12 - 2n + mn = (6m - 12) + (mn - 2n) = 6(m - 2) + n(m - 2)$

Вынесем общий множитель $(m-2)$ за скобки:

$(m - 2)(6 + n)$

Ответ: $(m - 2)(n + 6)$