Номер 76, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 76, страница 23.

76. Выполните сложение или вычитание:

а) $\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}$;

б) $\frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2}$;

в) $\frac{1}{2a^7} + \frac{4-2a^3}{a^{10}}$;

г) $\frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab}$;

д) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$;

е) $\frac{x-2y}{xy^2} - \frac{2y-x}{x^2y}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ a^2 $ и $ a $ это $ a^2 $. Домножим вторую дробь на дополнительный множитель $ a $.

$ \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} = \frac{b}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a \cdot a} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{a^2} = \frac{b-a}{a^2} $

Ответ: $ \frac{b-a}{a^2} $

б) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ x^3 $ и $ x^2 $ это $ x^3 $. Домножим вторую дробь на дополнительный множитель $ x $.

$ \frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2} = \frac{1-x}{x^3} + \frac{1 \cdot x}{x^2 \cdot x} = \frac{1-x}{x^3} + \frac{x}{x^3} = \frac{1-x+x}{x^3} = \frac{1}{x^3} $

Ответ: $ \frac{1}{x^3} $

в) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{1}{2a^7} + \frac{4-2a^3}{a^{10}} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ 2a^7 $ и $ a^{10} $ это $ 2a^{10} $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ a^3 $, для второй — $ 2 $.

$ \frac{1}{2a^7} + \frac{4-2a^3}{a^{10}} = \frac{1 \cdot a^3}{2a^7 \cdot a^3} + \frac{(4-2a^3) \cdot 2}{a^{10} \cdot 2} = \frac{a^3}{2a^{10}} + \frac{8-4a^3}{2a^{10}} = \frac{a^3 + 8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8-3a^3}{2a^{10}} $

Ответ: $ \frac{8-3a^3}{2a^{10}} $

г) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ a^2 $ и $ ab $ это $ a^2b $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ a $.

$ \frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab} = \frac{(a+b) \cdot b}{a^2 \cdot b} + \frac{(a-b) \cdot a}{ab \cdot a} = \frac{ab+b^2}{a^2b} + \frac{a^2-ab}{a^2b} = \frac{ab+b^2+a^2-ab}{a^2b} = \frac{a^2+b^2}{a^2b} $

Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{a^2b} $

д) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ a^2b $ и $ ab^2 $ это $ a^2b^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ a $.

$ \frac{(2a-3b) \cdot b}{a^2b \cdot b} - \frac{(4a-5b) \cdot a}{ab^2 \cdot a} = \frac{2ab-3b^2}{a^2b^2} - \frac{4a^2-5ab}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2 - (4a^2-5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2-4a^2+5ab}{a^2b^2} = \frac{7ab-4a^2-3b^2}{a^2b^2} $

Ответ: $ \frac{7ab-4a^2-3b^2}{a^2b^2} $

е) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{x-2y}{xy^2} - \frac{2y-x}{x^2y} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ xy^2 $ и $ x^2y $ это $ x^2y^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ x $, для второй — $ y $.

$ \frac{(x-2y) \cdot x}{xy^2 \cdot x} - \frac{(2y-x) \cdot y}{x^2y \cdot y} = \frac{x^2-2xy}{x^2y^2} - \frac{2y^2-xy}{x^2y^2} = \frac{x^2-2xy - (2y^2-xy)}{x^2y^2} = \frac{x^2-2xy-2y^2+xy}{x^2y^2} = \frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2} $

Ответ: $ \frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2} $