Номер 79, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 79, страница 23.

79. Выполните вычитание дробей:

а) $\frac{x - y}{xy} - \frac{x - z}{xz}$;

б) $\frac{a - 2b}{3b} - \frac{b - 2a}{3a}$;

в) $\frac{p - q}{p^3 q^2} - \frac{p + q}{p^2 q^3}$;

г) $\frac{3m - n}{3m^2 n} - \frac{2n - m}{2mn^2}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $xy$ и $xz$ — это $xyz$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xyz}{xy} = z$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xyz}{xz} = y$.

Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем вычитание:

$\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz} = \frac{z(x-y)}{xyz} - \frac{y(x-z)}{xyz} = \frac{z(x-y) - y(x-z)}{xyz}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{xz - yz - (xy - yz)}{xyz} = \frac{xz - yz - xy + yz}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{xz - xy}{xyz}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{x(z-y)}{xyz} = \frac{z-y}{yz}$

Ответ: $\frac{z-y}{yz}$

б) Выполним вычитание дробей $\frac{a-2b}{3b} - \frac{b-2a}{3a}$.

Наименьший общий знаменатель для $3b$ и $3a$ — это $3ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3ab}{3b} = a$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3ab}{3a} = b$.

Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{a(a-2b)}{3ab} - \frac{b(b-2a)}{3ab} = \frac{a(a-2b) - b(b-2a)}{3ab}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 2ab - (b^2 - 2ab)}{3ab} = \frac{a^2 - 2ab - b^2 + 2ab}{3ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 - b^2}{3ab}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{3ab}$

в) Выполним вычитание дробей $\frac{p-q}{p^3q^2} - \frac{p+q}{p^2q^3}$.

Наименьший общий знаменатель для $p^3q^2$ и $p^2q^3$ — это $p^3q^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{p^3q^3}{p^3q^2} = q$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{p^3q^3}{p^2q^3} = p$.

Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{q(p-q)}{p^3q^3} - \frac{p(p+q)}{p^3q^3} = \frac{q(p-q) - p(p+q)}{p^3q^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{pq - q^2 - (p^2 + pq)}{p^3q^3} = \frac{pq - q^2 - p^2 - pq}{p^3q^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-q^2 - p^2}{p^3q^3} = \frac{-(p^2 + q^2)}{p^3q^3} = -\frac{p^2 + q^2}{p^3q^3}$

Ответ: $-\frac{p^2 + q^2}{p^3q^3}$

г) Выполним вычитание дробей $\frac{3m-n}{3m^2n} - \frac{2n-m}{2mn^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $3m^2n$ и $2mn^2$. Найдем НОК(2, 3) = 6. Для переменных возьмем наивысшие степени: $m^2$ и $n^2$. Общий знаменатель: $6m^2n^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6m^2n^2}{3m^2n} = 2n$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6m^2n^2}{2mn^2} = 3m$.

Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{2n(3m-n)}{6m^2n^2} - \frac{3m(2n-m)}{6m^2n^2} = \frac{2n(3m-n) - 3m(2n-m)}{6m^2n^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6mn - 2n^2 - (6mn - 3m^2)}{6m^2n^2} = \frac{6mn - 2n^2 - 6mn + 3m^2}{6m^2n^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$

Ответ: $\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$