Номер 72, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 72, страница 21.

72. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\frac{3a}{2a+25}$;

б) $\frac{2y}{9+y^2}$;

в) $\frac{5x}{3x(x+12)}$;

г) $\frac{7a}{(a+1)(a-4)}$.

Допустимые значения переменной в выражении (или область определения выражения) — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для алгебраических дробей выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{3a}{2a + 25}$.

Знаменатель этой дроби не должен быть равен нулю. Найдем значение переменной a, при котором знаменатель обращается в ноль:

$2a + 25 = 0$

$2a = -25$

$a = -\frac{25}{2} = -12.5$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме -12.5.

Ответ: все числа, кроме $a = -12.5$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{2y}{9 + y^2}$.

Найдем значения переменной y, при которых знаменатель $9 + y^2$ равен нулю.

$9 + y^2 = 0$

$y^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным ($y^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $9 + y^2$ всегда будет положительной ($9 + y^2 \ge 9$). Знаменатель никогда не может быть равен нулю.

Таким образом, выражение определено для любых значений переменной y.

Ответ: все числа.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{5x}{3x(x + 12)}$.

Знаменатель $3x(x + 12)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$3x(x + 12) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $3x = 0 \implies x = 0$

2) $x + 12 = 0 \implies x = -12$

Следовательно, переменная x может принимать любые значения, кроме 0 и -12.

Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = -12$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{7a}{(a + 1)(a - 4)}$.

Знаменатель $(a + 1)(a - 4)$ не должен быть равен нулю.

$(a + 1)(a - 4) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1) $a + 1 = 0 \implies a = -1$

2) $a - 4 = 0 \implies a = 4$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме -1 и 4.

Ответ: все числа, кроме $a = -1$ и $a = 4$.