Номер 69, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 69, страница 21.

69. При каких целых значениях m дробь $\frac{(m-1)(m+1)-10}{m}$ принимает целые значения?

Для того чтобы данная дробь принимала целые значения, необходимо найти все целые значения $m$, при которых числитель делится на знаменатель нацело. Из вида дроби следует, что ее знаменатель не может быть равен нулю, то есть $m \neq 0$.

Рассмотрим данное выражение:

$\frac{(m-1)(m+1)-10}{m}$

Сначала упростим числитель. Выражение $(m-1)(m+1)$ является разностью квадратов, которая раскрывается по формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(m-1)(m+1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель дроби:

$(m^2 - 1) - 10 = m^2 - 11$

Таким образом, исходная дробь принимает вид:

$\frac{m^2 - 11}{m}$

Чтобы проанализировать, при каких целых $m$ эта дробь будет целой, разделим ее на два слагаемых (выделим целую часть):

$\frac{m^2 - 11}{m} = \frac{m^2}{m} - \frac{11}{m} = m - \frac{11}{m}$

По условию, $m$ — целое число. Для того чтобы вся разность $m - \frac{11}{m}$ была целым числом, необходимо, чтобы и вычитаемое $\frac{11}{m}$ также было целым числом (поскольку разность двух целых чисел всегда является целым числом).

Дробь $\frac{11}{m}$ будет принимать целые значения только в том случае, если ее знаменатель $m$ является делителем числителя 11.

Число 11 является простым, поэтому его целыми делителями являются только числа $1, -1, 11, -11$.

Следовательно, $m$ может принимать одно из следующих значений:

• $-11$
• $-1$
• $1$
• $11$

Все эти значения удовлетворяют начальному условию $m \neq 0$.

Ответ: $-11, -1, 1, 11$.