Номер 62, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 62, страница 20.

62. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p}$;

Б) $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$;

В) $\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{1-x}$;

Г) $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$;

Д) $\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9-a^2}$;

е) $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$.

а) $\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p}$

Чтобы выполнить сложение дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $p-q$ и $q-p$ являются противоположными выражениями, так как $q-p = -(p-q)$.

Преобразуем вторую дробь, изменив знак перед дробью и знак знаменателя:

$\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{-(p-q)} = \frac{10p}{p-q} - \frac{3p}{p-q}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, выполним вычитание их числителей:

$\frac{10p - 3p}{p-q} = \frac{7p}{p-q}$

Ответ: $\frac{7p}{p-q}$

б) $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$

Аналогично предыдущему примеру, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $b-a = -(a-b)$.

$\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{-(a-b)} = \frac{5a}{a-b} - \frac{5b}{a-b}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5a-5b}{a-b}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе за скобки:

$\frac{5(a-b)}{a-b}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$5$

Ответ: $5$

в) $\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{1-x}$

Знаменатель второй дроби $1-x$ равен $-(x-1)$. Изменим знак перед дробью на противоположный, поменяв знаки в знаменателе:

$\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{-(x-1)} = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1}$

Сложим числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{(x-3) + 2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1}$

Сократим полученную дробь:

$1$

Ответ: $1$

г) $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $b-2a = -(2a-b)$.

$\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{-(2a-b)} = \frac{a}{2a-b} - \frac{3a-b}{2a-b}$

Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе:

$\frac{a-(3a-b)}{2a-b} = \frac{a-3a+b}{2a-b} = \frac{b-2a}{2a-b}$

Вынесем $-1$ в числителе за скобки, чтобы получить выражение, идентичное знаменателю:

$\frac{-(2a-b)}{2a-b}$

Сократим дробь:

$-1$

Ответ: $-1$

д) $\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9-a^2}$

Знаменатель второй дроби $9-a^2$ равен $-(a^2-9)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{-(a^2-9)} = \frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{a^2-9}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a-3}{a^2-9}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-3)$:

$\frac{1}{a+3}$

Ответ: $\frac{1}{a+3}$

е) $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $1-y$ равен $-(y-1)$.

$\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{-(y-1)} = \frac{y^2}{y-1} - \frac{1}{y-1}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{y^2-1}{y-1}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-1)$:

$y+1$

Ответ: $y+1$