Номер 56, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 56, страница 19.

56. Упростите выражение:

а) $ \frac{17 - 12x}{x} - \frac{10 - x}{x}; $

б) $ \frac{12p - 1}{3p^2} - \frac{1 - 3p}{3p^2}; $

в) $ \frac{6y - 3}{5y} - \frac{y + 2}{5y}; $

г) $ \frac{3p - q}{5p} - \frac{2p + 6q}{5p} + \frac{p - 4q}{5p}; $

д) $ \frac{5c - 2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d - 5c}{4c}; $

е) $ \frac{2a}{b} - \frac{1 - 6a}{b} + \frac{13 - 8a}{b}. $

а) Так как у дробей $\frac{17-12x}{x}$ и $\frac{10-x}{x}$ одинаковый знаменатель $x$, мы можем вычесть их числители, записав результат над общим знаменателем. Важно не забыть поставить скобки у вычитаемого числителя: $\frac{17-12x}{x} - \frac{10-x}{x} = \frac{(17-12x) - (10-x)}{x}$. Раскроем скобки в числителе, меняя знаки на противоположные: $\frac{17-12x-10+x}{x}$. Приведем подобные слагаемые: $(17-10) + (-12x+x) = 7 - 11x$. В результате получаем: $\frac{7-11x}{x}$.
Ответ: $\frac{7-11x}{x}$.

б) Знаменатели дробей $\frac{12p-1}{3p^2}$ и $\frac{1-3p}{3p^2}$ одинаковы и равны $3p^2$. Выполним вычитание числителей: $\frac{(12p-1) - (1-3p)}{3p^2}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{12p-1-1+3p}{3p^2}$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(12p+3p) + (-1-1) = 15p - 2$. Итоговое выражение: $\frac{15p-2}{3p^2}$.
Ответ: $\frac{15p-2}{3p^2}$.

в) У дробей $\frac{6y-3}{5y}$ и $\frac{y+2}{5y}$ общий знаменатель $5y$. Вычтем числители: $\frac{(6y-3) - (y+2)}{5y}$. Раскроем скобки: $\frac{6y-3-y-2}{5y}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(6y-y) + (-3-2) = 5y-5$. Получаем дробь $\frac{5y-5}{5y}$. Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе: $\frac{5(y-1)}{5y}$. Сократим дробь на 5: $\frac{y-1}{y}$.
Ответ: $\frac{y-1}{y}$.

г) Все три дроби имеют одинаковый знаменатель $5p$. Выполним сложение и вычитание числителей: $\frac{3p-q}{5p} - \frac{2p+6q}{5p} + \frac{p-4q}{5p} = \frac{(3p-q) - (2p+6q) + (p-4q)}{5p}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{3p-q-2p-6q+p-4q}{5p}$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые для переменной $p$ и для переменной $q$: $(3p-2p+p) + (-q-6q-4q) = 2p - 11q$. Получаем выражение: $\frac{2p-11q}{5p}$.
Ответ: $\frac{2p-11q}{5p}$.

д) Знаменатель всех дробей равен $4c$. Объединим числители под общим знаменателем: $\frac{5c-2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d-5c}{4c} = \frac{(5c-2d) - 3d + (d-5c)}{4c}$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{5c-2d-3d+d-5c}{4c}$. Сгруппируем подобные: $(5c-5c) + (-2d-3d+d) = 0 - 4d = -4d$. Получаем дробь $\frac{-4d}{4c}$. Сократим дробь на общий множитель 4: $-\frac{d}{c}$.
Ответ: $-\frac{d}{c}$.

е) Все дроби имеют общий знаменатель $b$. Выполним действия с числителями: $\frac{2a}{b} - \frac{1-6a}{b} + \frac{13-8a}{b} = \frac{2a - (1-6a) + (13-8a)}{b}$. Раскроем скобки: $\frac{2a - 1 + 6a + 13 - 8a}{b}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(2a+6a-8a) + (-1+13) = (8a-8a) + 12 = 0 + 12 = 12$. Итоговое выражение: $\frac{12}{b}$.
Ответ: $\frac{12}{b}$.