Номер 5, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 5, страница 17.

5 Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

Значение алгебраической дроби определяется тремя знаками: знаком перед самой дробью, знаком числителя и знаком знаменателя. Правило изменения знака перед дробью основано на том, что одновременное изменение любых двух из этих трех знаков на противоположные не изменяет значения дроби.

Сформулируем правило:

Если изменить знак перед дробью на противоположный, то для сохранения равенства необходимо изменить на противоположный знак либо у числителя, либо у знаменателя.

Это правило можно выразить с помощью следующих тождеств, где $b \neq 0$:

$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$

И обратно:

$\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b} = -\frac{a}{-b}$

Рассмотрим на примерах:

• Изменение знака числителя: Если мы хотим внести знак "минус" в дробь, мы можем изменить знак числителя.
  Например, выражение $-\frac{x-5}{y+2}$ можно преобразовать, изменив знак числителя $(x-5)$ на $-(x-5) = -x+5 = 5-x$:
  $-\frac{x-5}{y+2} = \frac{-(x-5)}{y+2} = \frac{5-x}{y+2}$
  Таким образом, выражения $-\frac{x-5}{y+2}$ и $\frac{5-x}{y+2}$ тождественно равны.
• Изменение знака знаменателя: Аналогично, мы можем внести "минус" перед дробью в ее знаменатель.
  Для той же дроби $-\frac{x-5}{y+2}$ изменим знак знаменателя $(y+2)$ на $-(y+2) = -y-2$:
  $-\frac{x-5}{y+2} = \frac{x-5}{-(y+2)} = \frac{x-5}{-y-2}$
  Таким образом, выражения $-\frac{x-5}{y+2}$ и $\frac{x-5}{-y-2}$ также тождественно равны.

Важное замечание: Если одновременно с изменением знака перед дробью изменить знаки и числителя, и знаменателя, то значение дроби изменится на противоположное, что будет ошибкой. Это следует из того, что $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.

Например, $-\frac{a}{b} \neq \frac{-a}{-b}$, так как $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$, и равенство $-\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ выполняется только при $a=0$.

Ответ: Чтобы изменить знак перед дробью на противоположный, необходимо изменить на противоположный знак числителя или знак знаменателя этой дроби. Это свойство выражается тождествами: $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$ и $\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b} = -\frac{a}{-b}$.