Номер 51, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 51, страница 17.

51. Разложите на множители:

а) $5bc - 5c;$

б) $10n + 15n^2;$

в) $8ab + 12bc;$

г) $5y - 5x + y^2 - xy;$

д) $a^2 - 9;$

е) $x^2 + 10x + 25;$

ж) $y^2 - 2y + 1;$

з) $a^3 + 64;$

и) $b^3 - 1.$

а) В выражении $5bc - 5c$ оба члена имеют общий множитель $5c$. Выносим его за скобки, разделив каждый член на $5c$:
$5bc - 5c = 5c \cdot b - 5c \cdot 1 = 5c(b - 1)$.
Ответ: $5c(b - 1)$.

б) В выражении $10n + 15n^2$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 10 и 15, который равен 5. Общий множитель для переменных - это $n$ в наименьшей степени, то есть $n^1$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5n$:
$10n + 15n^2 = 5n \cdot 2 + 5n \cdot 3n = 5n(2 + 3n)$.
Ответ: $5n(2 + 3n)$.

в) В выражении $8ab + 12bc$ найдем НОД для коэффициентов 8 и 12, который равен 4. Общая переменная в обоих членах - $b$. Выносим общий множитель $4b$ за скобки:
$8ab + 12bc = 4b \cdot 2a + 4b \cdot 3c = 4b(2a + 3c)$.
Ответ: $4b(2a + 3c)$.

г) Для разложения выражения $5y - 5x + y^2 - xy$ используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:
$(5y + y^2) - (5x + xy)$.
Из первой скобки вынесем $y$, а из второй - $x$:
$y(5 + y) - x(5 + y)$.
Теперь у нас появился общий множитель $(5 + y)$, который мы выносим за скобки:
$(5 + y)(y - x)$.
Ответ: $(y - x)(y + 5)$.

д) Выражение $a^2 - 9$ представляет собой разность квадратов, так как $9$ можно представить как $3^2$. Применяем формулу сокращенного умножения для разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 3)$.

е) Выражение $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом суммы. Применяем формулу квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В данном случае $A^2 = x^2$, следовательно, $A = x$. $B^2 = 25$, следовательно, $B = 5$. Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$. Оно совпадает со средним членом выражения.
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
Ответ: $(x + 5)^2$.

ж) Выражение $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности. Применяем формулу квадрата разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^2$, значит $A = y$. $B^2 = 1$, значит $B = 1$. Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot y \cdot 1 = 2y$.
$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)^2$.

з) Выражение $a^3 + 64$ представляет собой сумму кубов, так как $64$ это $4^3$. Используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$:
$a^3 + 64 = a^3 + 4^3 = (a + 4)(a^2 - a \cdot 4 + 4^2) = (a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.
Ответ: $(a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.

и) Выражение $b^3 - 1$ представляет собой разность кубов, так как $1$ это $1^3$. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$:
$b^3 - 1 = b^3 - 1^3 = (b - 1)(b^2 + b \cdot 1 + 1^2) = (b - 1)(b^2 + b + 1)$.
Ответ: $(b - 1)(b^2 + b + 1)$.