Номер 45, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 45, страница 16.

45. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях $a$, отличных от $-2$ и $2$, значение дроби $\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4}$ является отрицательным числом?

1) Выберите произвольное значение $a$, отличное от $-2$ и $2$, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

1) Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

Выберем произвольное значение $a$, например, $a=0$. Это значение отлично от $-2$ и $2$. Подставим его в дробь $ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $:

$ \frac{0^2 - 4}{12 + 0^2 - 0^4} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $

Полученное значение $ -\frac{1}{3} $ является отрицательным числом, то есть меньше нуля.

Ответ: При $a=0$, значение дроби равно $ -\frac{1}{3} $, что является отрицательным числом.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

Чтобы определить знак дроби для всех допустимых значений $a$, необходимо проанализировать знаки ее числителя и знаменателя. Для этого наиболее удобным преобразованием является разложение числителя и знаменателя на множители. Это позволит, во-первых, упростить (сократить) дробь, а во-вторых, проанализировать знаки получившихся множителей.

Ответ: Разложение числителя и знаменателя дроби на множители поможет найти ответ на вопрос задачи.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Исходная дробь: $ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $.

Теперь разложим на множители знаменатель $ 12 + a^2 - a^4 $. Перепишем его в виде $ -(a^4 - a^2 - 12) $. Сделаем замену переменной: пусть $t = a^2$. Тогда выражение в скобках примет вид $ t^2 - t - 12 $. Найдем корни квадратного уравнения $ t^2 - t - 12 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = -3 $. Следовательно, $ t^2 - t - 12 = (t - 4)(t + 3) $. Вернемся к переменной $a$: $ a^4 - a^2 - 12 = (a^2 - 4)(a^2 + 3) $. Таким образом, знаменатель равен $ -(a^2 - 4)(a^2 + 3) $.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} $

По условию задачи, $a$ отлично от $-2$ и $2$, следовательно, $ a^2 \neq 4 $, а значит $ a^2 - 4 \neq 0 $. Это позволяет нам сократить дробь на множитель $ (a^2 - 4) $: $ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} = \frac{1}{-(a^2 + 3)} = -\frac{1}{a^2 + 3} $

Проанализируем знак полученного выражения. Для любого действительного числа $a$ значение $a^2$ является неотрицательным: $a^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $ a^2 + 3 $ всегда будет положительным числом, так как $ a^2 + 3 \ge 3 $. Если знаменатель $ (a^2 + 3) $ положителен, то дробь $ \frac{1}{a^2 + 3} $ также всегда положительна. Знак "минус" перед дробью делает все выражение отрицательным.

Таким образом, при всех значениях $a$, отличных от $-2$ и $2$, значение дроби $ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $ равно $ -\frac{1}{a^2 + 3} $, что всегда является отрицательным числом.

Ответ: Да, утверждение верно. При всех значениях $a$, отличных от $-2$ и $2$, значение дроби является отрицательным числом.