Номер 42, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 42, страница 15.

42. Упростите выражение:

а) $\frac{x^6+x^4}{x^4+x^2}$;

б) $\frac{y^6-y^8}{y^4-y^2}$;

в) $\frac{b^7-b^{10}}{b^5-b^2}$;

г) $\frac{c^6-c^4}{c^3-c^2}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе общим множителем является $x^4$, а в знаменателе – $x^2$.

$\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2} = \frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$

Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$, так как он присутствует и в числителе, и в знаменателе.

$\frac{x^4\cancel{(x^2 + 1)}}{x^2\cancel{(x^2 + 1)}} = \frac{x^4}{x^2}$

Используя свойство степеней при делении ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем конечный результат:

$\frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2$

Ответ: $x^2$

б) Упростим выражение $\frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $y^6$, а в знаменателе $y^2$.

$\frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2} = \frac{y^6(1 - y^2)}{y^2(y^2 - 1)}$

Заметим, что выражения в скобках $(1 - y^2)$ и $(y^2 - 1)$ являются противоположными, то есть $(1 - y^2) = -(y^2 - 1)$. Вынесем знак минус в числителе.

$\frac{-y^6(y^2 - 1)}{y^2(y^2 - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y^2 - 1)$.

$\frac{-y^6\cancel{(y^2 - 1)}}{y^2\cancel{(y^2 - 1)}} = \frac{-y^6}{y^2}$

Упрощаем полученное выражение по свойству степеней:

$-y^{6-2} = -y^4$

Ответ: $-y^4$

в) Упростим выражение $\frac{b^7 - b^{10}}{b^5 - b^2}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $b^7$, в знаменателе $b^2$.

$\frac{b^7 - b^{10}}{b^5 - b^2} = \frac{b^7(1 - b^3)}{b^2(b^3 - 1)}$

Выражения в скобках отличаются только знаком: $(1 - b^3) = -(b^3 - 1)$. Вынесем минус в числителе.

$\frac{-b^7(b^3 - 1)}{b^2(b^3 - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b^3 - 1)$.

$\frac{-b^7\cancel{(b^3 - 1)}}{b^2\cancel{(b^3 - 1)}} = \frac{-b^7}{b^2}$

Упрощаем, используя свойство степеней:

$-b^{7-2} = -b^5$

Ответ: $-b^5$

г) Упростим выражение $\frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2}$. Сначала вынесем общие множители за скобки. В числителе это $c^4$, а в знаменателе $c^2$.

$\frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2} = \frac{c^4(c^2 - 1)}{c^2(c - 1)}$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению $(c^2 - 1)$ в числителе.

$\frac{c^4(c - 1)(c + 1)}{c^2(c - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-1)$ и на $c^2$.

$\frac{c^{4-2}\cancel{(c - 1)}(c + 1)}{1\cdot \cancel{(c - 1)}} = c^2(c + 1)$

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид.

$c^2(c + 1) = c^3 + c^2$

Ответ: $c^3 + c^2$