Страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$?

1.

2.

3.

4.

Рис. 2

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$, проанализируем эту функцию.

1. Нахождение области определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Следовательно, мы должны исключить значения $x$, для которых $x-1 = 0$.

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$. Это означает, что на графике функции в точке с абсциссой $x=1$ будет разрыв, который обычно изображается в виде "выколотой" или пустой точки.

2. Упрощение функционального выражения.
Упростим данное выражение. Воспользуемся свойством квадрата: $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Применительно к нашему числителю это означает, что $(1-x)^2 = (x-1)^2$.

Теперь функция выглядит так:

$y = \frac{(x-1)^2}{x-1}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-1)$:

$y = x-1$

Это означает, что график исходной функции совпадает с графиком прямой линии $y=x-1$ во всех точках, за исключением точки, где $x=1$.

3. Определение координат выколотой точки.
Чтобы найти координаты точки разрыва, подставим значение $x=1$ в уравнение прямой $y=x-1$:

$y = 1 - 1 = 0$

Следовательно, на графике функции будет выколотая точка с координатами $(1, 0)$.

4. Анализ предложенных графиков.
Теперь рассмотрим каждый из четырех предложенных графиков:

• Графики 1 и 3: На них изображены убывающие прямые. Угловой коэффициент этих прямых отрицателен. Наша функция $y=x-1$ является возрастающей (угловой коэффициент равен 1). Следовательно, эти графики не подходят.
• График 4: На нем изображена возрастающая прямая $y=x-1$. Она проходит через точки $(0,-1)$ и $(2,1)$, что соответствует уравнению. Однако эта линия является сплошной, без разрывов. Это противоречит тому, что функция не определена при $x=1$.
• График 2: На нем также изображена возрастающая прямая $y=x-1$. Важно отметить, что в точке $(1,0)$ на этом графике показана выколотая точка (пустой кружок). Это в точности соответствует нашему анализу: график функции $y=x-1$ с разрывом в точке $(1,0)$.

Таким образом, правильный график представлен под номером 2.

Ответ: 2.

41. Сократите дробь:

a) $ \frac{ax+bx-ay-by}{bx-by} $;

б) $ \frac{ab-3b-2a+6}{15-5a} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{ax+bx-ay-by}{bx-by}$, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $ax+bx-ay-by$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(ax+bx) - (ay+by)$. Вынесем за скобки общие множители в каждой группе: $x(a+b) - y(a+b)$. Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$: $(a+b)(x-y)$.

2. Разложим на множители знаменатель $bx-by$. Вынесем за скобки общий множитель $b$: $b(x-y)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)}$

4. Сократим общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$):

$\frac{a+b}{b}$

Ответ: $\frac{a+b}{b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{ab-3b-2a+6}{15-5a}$, также разложим её числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $ab-3b-2a+6$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(ab-3b) - (2a-6)$. Вынесем за скобки общие множители в каждой группе: $b(a-3) - 2(a-3)$. Теперь вынесем общий множитель $(a-3)$: $(a-3)(b-2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $15-5a$. Вынесем за скобки общий множитель $5$: $5(3-a)$.

3. Заметим, что выражение $(3-a)$ в знаменателе и $(a-3)$ в числителе отличаются только знаком. Мы можем записать $3-a = -(a-3)$. Тогда знаменатель примет вид: $5 \cdot (-(a-3)) = -5(a-3)$.

4. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a-3)(b-2)}{-5(a-3)}$

5. Сократим общий множитель $(a-3)$ (при условии, что $a-3 \neq 0$):

$\frac{b-2}{-5}$

Это выражение можно записать как $-\frac{b-2}{5}$ или, изменив знаки в числителе, $\frac{-(b-2)}{5} = \frac{2-b}{5}$.

Ответ: $\frac{2-b}{5}$.

40. Сократите дробь:

а) $ \frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)} $

б) $ \frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)} $

в) $ \frac{3a - 36}{12b - ab} $

г) $ \frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b} $

д) $ \frac{25 - a^2}{3a - 15} $

е) $ \frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1} $

ж) $ \frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2} $

з) $ \frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}$, заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе являются противоположными: $(2y-x) = -(x-2y)$. Вынесем знак минус в знаменателе за скобки:
$\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} = \frac{a(x-2y)}{b(-(x-2y))} = \frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)}$
Теперь можно сократить общий множитель $(x-2y)$:
$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$
Ответ: $-\frac{a}{b}$

б) В дроби $\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}$ вынесем минус за скобки в знаменателе, так как $(y-x) = -(x-y)$:
$\frac{5x(x-y)}{x^3(-(x-y))} = \frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$ и также сократим $x$ в числителе и $x^3$ в знаменателе:
$\frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2}$
Ответ: $-\frac{5}{x^2}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{3a-36}{12b-ab}$. Сначала вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
Числитель: $3a-36 = 3(a-12)$
Знаменатель: $12b-ab = b(12-a)$
Получаем дробь: $\frac{3(a-12)}{b(12-a)}$
Заметим, что $(12-a) = -(a-12)$. Подставим это в знаменатель:
$\frac{3(a-12)}{b(-(a-12))} = \frac{3(a-12)}{-b(a-12)}$
Сократим общий множитель $(a-12)$:
$\frac{3}{-b} = -\frac{3}{b}$
Ответ: $-\frac{3}{b}$

г) Для дроби $\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}$ вынесем общие множители:
Числитель: $7b-14b^2 = 7b(1-2b)$
Знаменатель: $42b^2-21b = 21b(2b-1)$
Дробь принимает вид: $\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)}$
Выражения $(1-2b)$ и $(2b-1)$ противоположны: $(1-2b) = -(2b-1)$.
$\frac{7b(-(2b-1))}{21b(2b-1)}$
Сокращаем общие множители $b$ и $(2b-1)$, а также числа 7 и 21:
$\frac{7 \cdot (-1)}{21} = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

д) Сократим дробь $\frac{25-a^2}{3a-15}$.
Числитель является разностью квадратов: $25-a^2 = 5^2 - a^2 = (5-a)(5+a)$.
В знаменателе вынесем общий множитель: $3a-15 = 3(a-5)$.
Получаем: $\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)}$
Заменим $(5-a)$ на $-(a-5)$:
$\frac{-(a-5)(5+a)}{3(a-5)}$
Сократим общий множитель $(a-5)$:
$\frac{-(5+a)}{3} = -\frac{a+5}{3}$
Ответ: $-\frac{a+5}{3}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{3-3x}{x^2-2x+1}$.
В числителе вынесем 3 за скобки: $3-3x = 3(1-x)$.
Знаменатель является полным квадратом: $x^2-2x+1 = (x-1)^2$.
Получаем: $\frac{3(1-x)}{(x-1)^2}$
Так как $(1-x) = -(x-1)$, подставим это в числитель:
$\frac{3(-(x-1))}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)}{(x-1)^2}$
Сократим на $(x-1)$:
$\frac{-3}{x-1}$
Ответ: $\frac{-3}{x-1}$

ж) Сократим дробь $\frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $8b^2-8a^2 = 8(b^2-a^2) = 8(b-a)(b+a)$ (разность квадратов).
Знаменатель: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ (квадрат разности).
Дробь: $\frac{8(b-a)(b+a)}{(a-b)^2}$
Заменим $(b-a)$ на $-(a-b)$:
$\frac{8(-(a-b))(b+a)}{(a-b)^2}$
Сократим на $(a-b)$:
$\frac{-8(b+a)}{a-b} = \frac{8(a+b)}{b-a}$
Ответ: $\frac{8(a+b)}{b-a}$

з) Рассмотрим дробь $\frac{(b-2)^3}{(2-b)^2}$.
Заметим, что $(2-b) = -(b-2)$.
Тогда знаменатель можно переписать: $(2-b)^2 = (-(b-2))^2 = (-1)^2(b-2)^2 = (b-2)^2$.
Дробь принимает вид: $\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2}$
Сокращаем дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$(b-2)^{3-2} = (b-2)^1 = b-2$
Ответ: $b-2$

42. Упростите выражение:

а) $\frac{x^6+x^4}{x^4+x^2}$;

б) $\frac{y^6-y^8}{y^4-y^2}$;

в) $\frac{b^7-b^{10}}{b^5-b^2}$;

г) $\frac{c^6-c^4}{c^3-c^2}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе общим множителем является $x^4$, а в знаменателе – $x^2$.

$\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2} = \frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$

Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$, так как он присутствует и в числителе, и в знаменателе.

$\frac{x^4\cancel{(x^2 + 1)}}{x^2\cancel{(x^2 + 1)}} = \frac{x^4}{x^2}$

Используя свойство степеней при делении ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем конечный результат:

$\frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2$

Ответ: $x^2$

б) Упростим выражение $\frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $y^6$, а в знаменателе $y^2$.

$\frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2} = \frac{y^6(1 - y^2)}{y^2(y^2 - 1)}$

Заметим, что выражения в скобках $(1 - y^2)$ и $(y^2 - 1)$ являются противоположными, то есть $(1 - y^2) = -(y^2 - 1)$. Вынесем знак минус в числителе.

$\frac{-y^6(y^2 - 1)}{y^2(y^2 - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y^2 - 1)$.

$\frac{-y^6\cancel{(y^2 - 1)}}{y^2\cancel{(y^2 - 1)}} = \frac{-y^6}{y^2}$

Упрощаем полученное выражение по свойству степеней:

$-y^{6-2} = -y^4$

Ответ: $-y^4$

в) Упростим выражение $\frac{b^7 - b^{10}}{b^5 - b^2}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $b^7$, в знаменателе $b^2$.

$\frac{b^7 - b^{10}}{b^5 - b^2} = \frac{b^7(1 - b^3)}{b^2(b^3 - 1)}$

Выражения в скобках отличаются только знаком: $(1 - b^3) = -(b^3 - 1)$. Вынесем минус в числителе.

$\frac{-b^7(b^3 - 1)}{b^2(b^3 - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b^3 - 1)$.

$\frac{-b^7\cancel{(b^3 - 1)}}{b^2\cancel{(b^3 - 1)}} = \frac{-b^7}{b^2}$

Упрощаем, используя свойство степеней:

$-b^{7-2} = -b^5$

Ответ: $-b^5$

г) Упростим выражение $\frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2}$. Сначала вынесем общие множители за скобки. В числителе это $c^4$, а в знаменателе $c^2$.

$\frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2} = \frac{c^4(c^2 - 1)}{c^2(c - 1)}$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению $(c^2 - 1)$ в числителе.

$\frac{c^4(c - 1)(c + 1)}{c^2(c - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-1)$ и на $c^2$.

$\frac{c^{4-2}\cancel{(c - 1)}(c + 1)}{1\cdot \cancel{(c - 1)}} = c^2(c + 1)$

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид.

$c^2(c + 1) = c^3 + c^2$

Ответ: $c^3 + c^2$