Страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

а) $4a^2b^3 : (2a^4b^2);$

б) $3xy^2 : (6x^3y^3);$

в) $24p^4q^4 : (48p^2q^2);$

г) $36m^2n : (18mn);$

д) $-32b^5c : (12b^4c^2);$

е) $-6ax : (-18ax).$

а)

Чтобы представить частное $4a^2b^3 : (2a^4b^2)$ в виде дроби и сократить её, запишем делимое в числитель, а делитель — в знаменатель:

$4a^2b^3 : (2a^4b^2) = \frac{4a^2b^3}{2a^4b^2}$

Теперь сократим дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{4}{2} = 2$

Затем сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

$\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b$

Собираем все вместе:

$\frac{4a^2b^3}{2a^4b^2} = 2 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b = \frac{2b}{a^2}$

Ответ: $\frac{2b}{a^2}$

б)

Представим частное $3xy^2 : (6x^3y^3)$ в виде дроби:

$3xy^2 : (6x^3y^3) = \frac{3xy^2}{6x^3y^3}$

Сокращаем числовые коэффициенты:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Сокращаем переменные:

$\frac{x}{x^3} = x^{1-3} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

$\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

Объединяем результаты:

$\frac{3xy^2}{6x^3y^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2x^2y}$

Ответ: $\frac{1}{2x^2y}$

в)

Представим частное $24p^4q^4 : (48p^2q^2)$ в виде дроби:

$24p^4q^4 : (48p^2q^2) = \frac{24p^4q^4}{48p^2q^2}$

Сокращаем коэффициенты:

$\frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Сокращаем переменные:

$\frac{p^4}{p^2} = p^{4-2} = p^2$

$\frac{q^4}{q^2} = q^{4-2} = q^2$

Объединяем результаты:

$\frac{24p^4q^4}{48p^2q^2} = \frac{1}{2} \cdot p^2 \cdot q^2 = \frac{p^2q^2}{2}$

Ответ: $\frac{p^2q^2}{2}$

г)

Представим частное $36m^2n : (18mn)$ в виде дроби:

$36m^2n : (18mn) = \frac{36m^2n}{18mn}$

Сокращаем коэффициенты:

$\frac{36}{18} = 2$

Сокращаем переменные:

$\frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m$

$\frac{n}{n} = n^{1-1} = n^0 = 1$

Объединяем результаты:

$\frac{36m^2n}{18mn} = 2 \cdot m \cdot 1 = 2m$

Ответ: $2m$

д)

Представим частное $-32b^5c : (12b^4c^2)$ в виде дроби:

$-32b^5c : (12b^4c^2) = \frac{-32b^5c}{12b^4c^2}$

Сокращаем коэффициенты, найдя их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{-32}{12} = \frac{-32:4}{12:4} = -\frac{8}{3}$

Сокращаем переменные:

$\frac{b^5}{b^4} = b^{5-4} = b$

$\frac{c}{c^2} = c^{1-2} = c^{-1} = \frac{1}{c}$

Объединяем результаты:

$\frac{-32b^5c}{12b^4c^2} = -\frac{8}{3} \cdot b \cdot \frac{1}{c} = -\frac{8b}{3c}$

Ответ: $-\frac{8b}{3c}$

е)

Представим частное $-6ax : (-18ax)$ в виде дроби:

$-6ax : (-18ax) = \frac{-6ax}{-18ax}$

Сокращаем дробь. Минус на минус дает плюс. Сокращаем коэффициенты:

$\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Сокращаем переменные:

$\frac{a}{a} = 1$

$\frac{x}{x} = 1$

В результате все переменные сокращаются:

$\frac{-6ax}{-18ax} = \frac{6ax}{18ax} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

27. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{8^{16}}{16^{12}} $;

б) $ \frac{81^{25}}{27^{33}} $.

а)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{8^{16}}{16^{12}}$, необходимо привести степени к общему основанию. Заметим, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{8^{16}}{16^{12}} = \frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^{12}}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

В числителе: $(2^3)^{16} = 2^{3 \cdot 16} = 2^{48}$

В знаменателе: $(2^4)^{12} = 2^{4 \cdot 12} = 2^{48}$

Получаем следующее выражение:

$\frac{2^{48}}{2^{48}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), либо, так как числитель и знаменатель равны, их частное равно 1.

$\frac{2^{48}}{2^{48}} = 2^{48-48} = 2^0 = 1$

Ответ: 1

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{81^{25}}{27^{33}}$ также приведем степени к общему основанию. Числа 81 и 27 являются степенями числа 3:

$81 = 3^4$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{81^{25}}{27^{33}} = \frac{(3^4)^{25}}{(3^3)^{33}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

В числителе: $(3^4)^{25} = 3^{4 \cdot 25} = 3^{100}$

В знаменателе: $(3^3)^{33} = 3^{3 \cdot 33} = 3^{99}$

Получаем выражение:

$\frac{3^{100}}{3^{99}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{100}}{3^{99}} = 3^{100-99} = 3^1 = 3$

Ответ: 3

29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

a) $\frac{3a + 12b}{6ab}$;

б) $\frac{15b - 20c}{10b}$;

в) $\frac{2a - 4}{3(a - 2)}$;

г) $\frac{5x(y + 2)}{6y + 12}$;

д) $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab}$;

е) $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}$.

а)

Исходная дробь: $\frac{3a + 12b}{6ab}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $3a$ и $12b$ это $3$. Вынесем его за скобки: $3a + 12b = 3(a + 4b)$.
2. Знаменатель $6ab$ представим в виде произведения $2 \cdot 3 \cdot a \cdot b$.
3. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{3(a + 4b)}{6ab} = \frac{3(a + 4b)}{2 \cdot 3 \cdot ab}$.
4. Сократим общий множитель $3$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{3}(a + 4b)}{2 \cdot \cancel{3} \cdot ab} = \frac{a + 4b}{2ab}$.
Ответ: $\frac{a + 4b}{2ab}$.

б)

Исходная дробь: $\frac{15b - 20c}{10b}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $15b$ и $20c$ это $5$. Вынесем его за скобки: $15b - 20c = 5(3b - 4c)$.
2. Знаменатель $10b$ представим в виде произведения $2 \cdot 5 \cdot b$.
3. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{5(3b - 4c)}{10b} = \frac{5(3b - 4c)}{2 \cdot 5 \cdot b}$.
4. Сократим общий множитель $5$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{5}(3b - 4c)}{2 \cdot \cancel{5} \cdot b} = \frac{3b - 4c}{2b}$.
Ответ: $\frac{3b - 4c}{2b}$.

в)

Исходная дробь: $\frac{2a - 4}{3(a - 2)}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $2a$ и $4$ это $2$. Вынесем его за скобки: $2a - 4 = 2(a - 2)$.
2. Знаменатель уже представлен в виде произведения множителей: $3(a - 2)$.
3. Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{2(a - 2)}{3(a - 2)}$.
4. Сократим общий множитель $(a - 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 2$): $\frac{2\cancel{(a - 2)}}{3\cancel{(a - 2)}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г)

Исходная дробь: $\frac{5x(y + 2)}{6y + 12}$.
1. Числитель уже представлен в виде произведения множителей: $5x(y + 2)$.
2. Разложим знаменатель на множители. Общий множитель для слагаемых $6y$ и $12$ это $6$. Вынесем его за скобки: $6y + 12 = 6(y + 2)$.
3. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{5x(y + 2)}{6(y + 2)}$.
4. Сократим общий множитель $(y + 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $y \neq -2$): $\frac{5x\cancel{(y + 2)}}{6\cancel{(y + 2)}} = \frac{5x}{6}$.
Ответ: $\frac{5x}{6}$.

д)

Исходная дробь: $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab}$.
1. Числитель $a - 3b$ не раскладывается на более простые множители.
2. Разложим знаменатель на множители. Общий множитель для слагаемых $a^2$ и $3ab$ это $a$. Вынесем его за скобки: $a^2 - 3ab = a(a - 3b)$.
3. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{a - 3b}{a(a - 3b)}$.
4. Сократим общий множитель $(a - 3b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 3b$): $\frac{\cancel{(a - 3b)}}{a\cancel{(a - 3b)}} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

е)

Исходная дробь: $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $3x^2$ и $15xy$ это $3x$. Вынесем его за скобки: $3x^2 + 15xy = 3x(x + 5y)$.
2. Знаменатель $x + 5y$ не раскладывается на более простые множители.
3. Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{3x(x + 5y)}{x + 5y}$.
4. Сократим общий множитель $(x + 5y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq -5y$): $\frac{3x\cancel{(x + 5y)}}{\cancel{(x + 5y)}} = 3x$.
Ответ: $3x$.

31. Сократите дробь:

a) $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$;

б) $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$;

В) $\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}$;

Г) $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$.

а) Исходная дробь: $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$. Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель является суммой кубов, которая раскладывается по формуле: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{a^2 - ab + b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$. Сократим на него:
$\frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a + b)(\cancel{a^2 - ab + b^2})} = \frac{1}{a + b}$
Ответ: $\frac{1}{a + b}$.

б) Исходная дробь: $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$. Для сокращения дроби разложим числитель на множители. Числитель является разностью кубов, которая раскладывается по формуле: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:
$\frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{a - b}} = a^2 + ab + b^2$
Ответ: $a^2 + ab + b^2$.

в) Исходная дробь: $\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}$. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Числитель можно представить как $(a + b)^3 = (a+b)(a+b)^2$.
Подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{(a+b)(a+b)^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$:
$\frac{\cancel{(a + b)}(a+b)^2}{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)} = \frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}$
Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}$.

г) Исходная дробь: $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$. Для сокращения этой дроби необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель.
Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:
$\frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{(a - b)}(a + b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$.

26. Сократите дробь:

а) $\frac{4a^2}{6ac}$;

б) $\frac{7x^2y}{21xy^2}$;

в) $\frac{56m^2n^5}{35mn^5}$;

г) $\frac{25p^4q}{100p^5q}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2}{6ac}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить на них.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 4 и 6. НОД(4, 6) = 2. Делим коэффициенты на 2:
в числителе: $4 \div 2 = 2$
в знаменателе: $6 \div 2 = 3$

2. Сокращаем переменные. В числителе стоит $a^2$, а в знаменателе $a$. Сокращаем на общий множитель $a$.
В числителе остается $a^{2-1} = a$.
В знаменателе $a^{1-1} = a^0 = 1$.

3. Переменная $c$ находится только в знаменателе, поэтому она остается без изменений.

Запишем весь процесс сокращения:
$\frac{4a^2}{6ac} = \frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot a}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot c} = \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{a} \cdot a}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot \cancel{a} \cdot c} = \frac{2a}{3c}$

Ответ: $\frac{2a}{3c}$

б)

Сократим дробь $\frac{7x^2y}{21xy^2}$.

1. Сокращаем коэффициенты 7 и 21. НОД(7, 21) = 7.
$7 \div 7 = 1$
$21 \div 7 = 3$

2. Сокращаем переменную $x$. В числителе $x^2$, в знаменателе $x$. Сокращаем на $x$. В числителе остается $x^{2-1} = x$.

3. Сокращаем переменную $y$. В числителе $y$, в знаменателе $y^2$. Сокращаем на $y$. В знаменателе остается $y^{2-1} = y$.

Объединим действия:
$\frac{7x^2y}{21xy^2} = \frac{7 \cdot x \cdot x \cdot y}{3 \cdot 7 \cdot x \cdot y \cdot y} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot \cancel{y}}{3 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot y} = \frac{x}{3y}$

Ответ: $\frac{x}{3y}$

в)

Сократим дробь $\frac{56m^2n^5}{35mn^5}$.

1. Сокращаем коэффициенты 56 и 35. НОД(56, 35) = 7.
$56 \div 7 = 8$
$35 \div 7 = 5$

2. Сокращаем переменную $m$. В числителе $m^2$, в знаменателе $m$. Сокращаем на $m$. В числителе остается $m^{2-1} = m$.

3. Сокращаем переменную $n$. В числителе $n^5$, и в знаменателе $n^5$. Они полностью сокращаются ($n^5 \div n^5 = 1$).

Запишем сокращение:
$\frac{56m^2n^5}{35mn^5} = \frac{8 \cdot 7 \cdot m^2 \cdot n^5}{5 \cdot 7 \cdot m \cdot n^5} = \frac{8 \cdot m^{2-1} \cdot n^{5-5}}{5} = \frac{8m^1n^0}{5} = \frac{8m}{5}$

Ответ: $\frac{8m}{5}$

г)

Сократим дробь $\frac{25p^4q}{100p^5q}$.

1. Сокращаем коэффициенты 25 и 100. НОД(25, 100) = 25.
$25 \div 25 = 1$
$100 \div 25 = 4$

2. Сокращаем переменную $p$. В числителе $p^4$, в знаменателе $p^5$. Сокращаем на $p^4$. В знаменателе остается $p^{5-4} = p$.

3. Сокращаем переменную $q$. В числителе и знаменателе стоит $q$. Они полностью сокращаются ($q \div q = 1$).

Выполним сокращение:
$\frac{25p^4q}{100p^5q} = \frac{25 \cdot p^4 \cdot q}{4 \cdot 25 \cdot p^5 \cdot q} = \frac{1 \cdot p^{4-5}}{4} = \frac{p^{-1}}{4} = \frac{1}{4p}$

Ответ: $\frac{1}{4p}$

28. Сократите дробь:

а) $ \frac{a(b-2)}{5(b-2)} $

б) $ \frac{3(x+4)}{c(x+4)} $

В) $ \frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)} $

Г) $ \frac{15a(a-b)}{20b(a-b)} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a(b-2)}{5(b-2)}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе. В данном случае общим множителем является выражение $(b-2)$. Сократим дробь на этот множитель, при условии, что он не равен нулю ($b-2 \neq 0$, то есть $b \neq 2$).

$\frac{a(b-2)}{5(b-2)} = \frac{a \cdot \cancel{(b-2)}}{5 \cdot \cancel{(b-2)}} = \frac{a}{5}$

Ответ: $\frac{a}{5}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{3(x+4)}{c(x+4)}$. Здесь числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x+4)$. Сократим дробь на $(x+4)$, при условии что $x+4 \neq 0$ (то есть $x \neq -4$) и знаменатель не равен нулю ($c \neq 0$).

$\frac{3(x+4)}{c(x+4)} = \frac{3 \cdot \cancel{(x+4)}}{c \cdot \cancel{(x+4)}} = \frac{3}{c}$

Ответ: $\frac{3}{c}$

в) В дроби $\frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)}$ найдем общие множители. Числитель - это $a \cdot b \cdot (y+3)$. Знаменатель можно представить как $a \cdot a \cdot b \cdot (y+3)$. Общими множителями являются $a$, $b$ и $(y+3)$. Сократим на них при условии, что они не равны нулю ($a \neq 0$, $b \neq 0$ и $y+3 \neq 0$, то есть $y \neq -3$).

$\frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)} = \frac{\cancel{a}\cancel{b}\cancel{(y+3)}}{a \cdot \cancel{a}\cancel{b}\cancel{(y+3)}} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{15a(a-b)}{20b(a-b)}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Общим множителем является выражение $(a-b)$. Также можно сократить числовые коэффициенты 15 и 20, найдя их наибольший общий делитель, который равен 5 ($15=3 \cdot 5$, $20=4 \cdot 5$). Сокращение возможно при условии, что знаменатель не равен нулю ($b \neq 0$) и общий множитель не равен нулю ($a-b \neq 0$, то есть $a \neq b$).

$\frac{15a(a-b)}{20b(a-b)} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a \cdot (a-b)}{4 \cdot 5 \cdot b \cdot (a-b)} = \frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot a \cdot \cancel{(a-b)}}{4 \cdot \cancel{5} \cdot b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{3a}{4b}$

Ответ: $\frac{3a}{4b}$

30. Сократите дробь:

а) $\frac{y^2 - 16}{3y + 12}$;

б) $\frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2}$;

В) $\frac{(c+2)^2}{7c^2 + 14c}$;

Г) $\frac{6cd - 18c}{(d - 3)^2}$;

Д) $\frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25}$;

е) $\frac{y^2 - 9}{y^2 - 6y + 9}$.

а) Для сокращения дроби $\frac{y^2 - 16}{3y + 12}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2 - 16$ является разностью квадратов, которую можно представить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $y^2 - 4^2 = (y-4)(y+4)$. В знаменателе $3y + 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки, получим $3(y+4)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}$. Сократим общий множитель $(y+4)$ в числителе и знаменателе. Ответ: $\frac{y-4}{3}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2}$. В числителе $5x - 15y$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(x - 3y)$. Знаменатель $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов $x^2 - (3y)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $(x - 3y)(x + 3y)$. Дробь примет вид $\frac{5(x - 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)}$. Сократим общий множитель $(x - 3y)$. Ответ: $\frac{5}{x + 3y}$

в) В дроби $\frac{(c+2)^2}{7c^2 + 14c}$ числитель уже разложен на множители. В знаменателе $7c^2 + 14c$ вынесем общий множитель $7c$ за скобки: $7c(c+2)$. Дробь примет вид $\frac{(c+2)^2}{7c(c+2)}$. Сократив дробь на общий множитель $(c+2)$, мы получим $\frac{c+2}{7c}$. Ответ: $\frac{c+2}{7c}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{6cd - 18c}{(d-3)^2}$. В числителе $6cd - 18c$ вынесем общий множитель $6c$ за скобки: $6c(d-3)$. Знаменатель уже представлен в виде квадрата $(d-3)^2$. Дробь примет вид $\frac{6c(d-3)}{(d-3)^2}$. Сократим дробь на общий множитель $(d-3)$. Ответ: $\frac{6c}{d-3}$

д) В дроби $\frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы, который по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$ сворачивается в $(a+5)^2$. Знаменатель $a^2 - 25$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a-5)(a+5)$. Дробь примет вид $\frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a+5)$. Ответ: $\frac{a+5}{a-5}$

е) В дроби $\frac{y^2 - 9}{y^2 - 6y + 9}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2 - 9$ является разностью квадратов, т.е. $(y-3)(y+3)$. Знаменатель $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности, который по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ сворачивается в $(y-3)^2$. Дробь примет вид $\frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)^2}$. Сократим дробь на общий множитель $(y-3)$. Ответ: $\frac{y+3}{y-3}$

32. Найдите значение дроби:

a) $ \frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2} $ при $ a = -2 $, $ b = -0,1 $;

б) $ \frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2} $ при $ c = \frac{2}{3} $, $ d = \frac{1}{2} $;

в) $ \frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2} $ при $ x = \frac{2}{3} $, $ y = -0,4 $;

г) $ \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy} $ при $ x = -0,2 $, $ y = -0,6 $.

а)

Для нахождения значения дроби $\frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2}$ при $a = -2$ и $b = -0,1$ сначала упростим выражение. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

В числителе общий множитель $5a$: $15a^2 - 10ab = 5a(3a - 2b)$.

В знаменателе общий множитель $b$: $3ab - 2b^2 = b(3a - 2b)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{5a(3a - 2b)}{b(3a - 2b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3a - 2b)$, при условии что он не равен нулю. Проверим: $3(-2) - 2(-0,1) = -6 + 0,2 = -5,8 \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{5a}{b}$.

Подставим значения $a = -2$ и $b = -0,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{5 \cdot (-2)}{-0,1} = \frac{-10}{-0,1} = 100$.

Ответ: 100.

б)

Найдем значение дроби $\frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2}$ при $c = \frac{2}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$.

Упростим выражение. Числитель является разностью квадратов: $9c^2 - 4d^2 = (3c)^2 - (2d)^2 = (3c - 2d)(3c + 2d)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $6cd$: $18c^2d - 12cd^2 = 6cd(3c - 2d)$.

Дробь примет вид: $\frac{(3c - 2d)(3c + 2d)}{6cd(3c - 2d)}$.

Сократим дробь на $(3c - 2d)$, при условии $3c - 2d \neq 0$. Проверим: $3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 \neq 0$.

Получаем упрощенное выражение: $\frac{3c + 2d}{6cd}$.

Подставим значения $c = \frac{2}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$:

$\frac{3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5.

в)

Найдем значение дроби $\frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2}$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4$.

Упростим выражение, вынеся общие множители.

В числителе общий множитель $6x$: $6x^2 + 12xy = 6x(x + 2y)$.

В знаменателе общий множитель $5y$: $5xy + 10y^2 = 5y(x + 2y)$.

Дробь примет вид: $\frac{6x(x + 2y)}{5y(x + 2y)}$.

Сократим дробь на $(x + 2y)$, при условии $x + 2y \neq 0$. Проверим: $\frac{2}{3} + 2(-0,4) = \frac{2}{3} - 0,8 = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10-12}{15} = -\frac{2}{15} \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{6x}{5y}$.

Подставим значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$:

$\frac{6 \cdot \frac{2}{3}}{5 \cdot (-\frac{2}{5})} = \frac{2 \cdot 2}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$.

Ответ: -2.

г)

Найдем значение дроби $\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy}$ при $x = -0,2$ и $y = -0,6$.

Упростим выражение. Числитель является полным квадратом суммы: $x^2 + 6xy + 9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель $4x$: $4x^2 + 12xy = 4x(x + 3y)$.

Дробь примет вид: $\frac{(x + 3y)^2}{4x(x + 3y)}$.

Сократим дробь на $(x + 3y)$, при условии $x + 3y \neq 0$. Проверим: $-0,2 + 3(-0,6) = -0,2 - 1,8 = -2 \neq 0$.

Получаем упрощенное выражение: $\frac{x + 3y}{4x}$.

Подставим значения $x = -0,2$ и $y = -0,6$:

$\frac{-0,2 + 3 \cdot (-0,6)}{4 \cdot (-0,2)} = \frac{-0,2 - 1,8}{-0,8} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: 2,5.