Номер 32, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 32, страница 13.

32. Найдите значение дроби:

a) $ \frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2} $ при $ a = -2 $, $ b = -0,1 $;

б) $ \frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2} $ при $ c = \frac{2}{3} $, $ d = \frac{1}{2} $;

в) $ \frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2} $ при $ x = \frac{2}{3} $, $ y = -0,4 $;

г) $ \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy} $ при $ x = -0,2 $, $ y = -0,6 $.

а)

Для нахождения значения дроби $\frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2}$ при $a = -2$ и $b = -0,1$ сначала упростим выражение. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

В числителе общий множитель $5a$: $15a^2 - 10ab = 5a(3a - 2b)$.

В знаменателе общий множитель $b$: $3ab - 2b^2 = b(3a - 2b)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{5a(3a - 2b)}{b(3a - 2b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3a - 2b)$, при условии что он не равен нулю. Проверим: $3(-2) - 2(-0,1) = -6 + 0,2 = -5,8 \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{5a}{b}$.

Подставим значения $a = -2$ и $b = -0,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{5 \cdot (-2)}{-0,1} = \frac{-10}{-0,1} = 100$.

Ответ: 100.

б)

Найдем значение дроби $\frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2}$ при $c = \frac{2}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$.

Упростим выражение. Числитель является разностью квадратов: $9c^2 - 4d^2 = (3c)^2 - (2d)^2 = (3c - 2d)(3c + 2d)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $6cd$: $18c^2d - 12cd^2 = 6cd(3c - 2d)$.

Дробь примет вид: $\frac{(3c - 2d)(3c + 2d)}{6cd(3c - 2d)}$.

Сократим дробь на $(3c - 2d)$, при условии $3c - 2d \neq 0$. Проверим: $3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 \neq 0$.

Получаем упрощенное выражение: $\frac{3c + 2d}{6cd}$.

Подставим значения $c = \frac{2}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$:

$\frac{3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5.

в)

Найдем значение дроби $\frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2}$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4$.

Упростим выражение, вынеся общие множители.

В числителе общий множитель $6x$: $6x^2 + 12xy = 6x(x + 2y)$.

В знаменателе общий множитель $5y$: $5xy + 10y^2 = 5y(x + 2y)$.

Дробь примет вид: $\frac{6x(x + 2y)}{5y(x + 2y)}$.

Сократим дробь на $(x + 2y)$, при условии $x + 2y \neq 0$. Проверим: $\frac{2}{3} + 2(-0,4) = \frac{2}{3} - 0,8 = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10-12}{15} = -\frac{2}{15} \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{6x}{5y}$.

Подставим значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$:

$\frac{6 \cdot \frac{2}{3}}{5 \cdot (-\frac{2}{5})} = \frac{2 \cdot 2}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$.

Ответ: -2.

г)

Найдем значение дроби $\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy}$ при $x = -0,2$ и $y = -0,6$.

Упростим выражение. Числитель является полным квадратом суммы: $x^2 + 6xy + 9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель $4x$: $4x^2 + 12xy = 4x(x + 3y)$.

Дробь примет вид: $\frac{(x + 3y)^2}{4x(x + 3y)}$.

Сократим дробь на $(x + 3y)$, при условии $x + 3y \neq 0$. Проверим: $-0,2 + 3(-0,6) = -0,2 - 1,8 = -2 \neq 0$.

Получаем упрощенное выражение: $\frac{x + 3y}{4x}$.

Подставим значения $x = -0,2$ и $y = -0,6$:

$\frac{-0,2 + 3 \cdot (-0,6)}{4 \cdot (-0,2)} = \frac{-0,2 - 1,8}{-0,8} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: 2,5.