Номер 34, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 34, страница 14.

34. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

а) $(9x^2 - y^2) : (3x + y);$

б) $(2ab - a) : (4b^2 - 4b + 1);$

в) $(x^2 + 2x + 4) : (x^3 - 8);$

г) $(1 + a^3) : (1 + a).$

а) Представим частное $(9x^2 - y^2) : (3x + y)$ в виде дроби. Делимое становится числителем, а делитель — знаменателем:

$ \dfrac{9x^2 - y^2}{3x + y} $

Числитель $9x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим одинаковые множители $(3x+y)$ в числителе и знаменателе:

$ \dfrac{(3x - y)(3x + y)}{3x + y} = 3x - y $

Ответ: $3x - y$.

б) Представим частное $(2ab - a) : (4b^2 - 4b + 1)$ в виде дроби:

$ \dfrac{2ab - a}{4b^2 - 4b + 1} $

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $2ab - a = a(2b - 1)$.

Знаменатель $4b^2 - 4b + 1$ является полным квадратом разности. Свернем его по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$ 4b^2 - 4b + 1 = (2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b - 1)^2 $

Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(2b-1)$:

$ \dfrac{a(2b - 1)}{(2b - 1)^2} = \dfrac{a}{2b - 1} $

Ответ: $\dfrac{a}{2b - 1}$.

в) Представим частное $(x^2 + 2x + 4) : (x^3 - 8)$ в виде дроби:

$ \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8} $

Знаменатель $x^3 - 8$ является разностью кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $

Подставим разложенный знаменатель в дробь. Видим, что выражение в числителе совпадает с одним из множителей в знаменателе, поэтому можем их сократить:

$ \dfrac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \dfrac{1}{x - 2} $

Ответ: $\dfrac{1}{x - 2}$.

г) Представим частное $(1 + a^3) : (1 + a)$ в виде дроби:

$ \dfrac{1 + a^3}{1 + a} $

Числитель $1 + a^3$ является суммой кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ 1 + a^3 = 1^3 + a^3 = (1 + a)(1^2 - 1 \cdot a + a^2) = (1 + a)(1 - a + a^2) $

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим на общий множитель $(1+a)$:

$ \dfrac{(1 + a)(1 - a + a^2)}{1 + a} = 1 - a + a^2 $

Ответ: $1 - a + a^2$.