Номер 37, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 37, страница 14.

37. Из выражений $ \frac{-x}{-y} $, $ \frac{-x}{y} $, $ \frac{x}{-y} $, $ -\frac{x}{y} $ выпишите те, которые:

а) тождественно равны дроби $ \frac{x}{y} $;

б) противоположны дроби $ \frac{x}{y} $.

а) тождественно равны дроби $\frac{x}{y}$

Чтобы найти выражения, тождественно равные дроби $\frac{x}{y}$, нужно упростить каждое из предложенных выражений. Тождественное равенство означает, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных, для которых выражения имеют смысл (в данном случае, при $y \neq 0$).

Рассмотрим каждое выражение:

1. $\frac{-x}{-y}$: Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное. Таким образом, знаки "минус" в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются: $\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}$. Это выражение тождественно равно исходной дроби.

2. $\frac{-x}{y}$: Знак "минус" относится ко всей дроби, то есть $\frac{-x}{y} = -\frac{x}{y}$. Это выражение является противоположным исходной дроби, а не равным ей (кроме случая $x=0$).

3. $\frac{x}{-y}$: Знак "минус" в знаменателе также можно вынести перед всей дробью: $\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}$. Это выражение также противоположно исходной дроби.

4. $-\frac{x}{y}$: Это выражение по определению противоположно дроби $\frac{x}{y}$.

Таким образом, только первое выражение тождественно равно дроби $\frac{x}{y}$.

Ответ: $\frac{-x}{-y}$.

б) противоположны дроби $\frac{x}{y}$

Противоположным дроби $\frac{x}{y}$ является выражение $-\frac{x}{y}$. Нам нужно найти все выражения из списка, которые тождественно равны $-\frac{x}{y}$.

Рассмотрим каждое выражение снова:

1. $\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}$. Это выражение не является противоположным исходной дроби.

2. $\frac{-x}{y}$: Как было показано выше, это выражение можно записать как $-\frac{x}{y}$. Следовательно, оно противоположно дроби $\frac{x}{y}$.

3. $\frac{x}{-y}$: Это выражение также можно записать как $-\frac{x}{y}$. Следовательно, оно тоже противоположно дроби $\frac{x}{y}$.

4. $-\frac{x}{y}$: Это выражение по определению является противоположным дроби $\frac{x}{y}$.

Таким образом, три выражения из списка являются противоположными дроби $\frac{x}{y}$.

Ответ: $\frac{-x}{y}$, $\frac{x}{-y}$, $-\frac{x}{y}$.