Номер 40, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 40, страница 15.

40. Сократите дробь:

а) $ \frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)} $

б) $ \frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)} $

в) $ \frac{3a - 36}{12b - ab} $

г) $ \frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b} $

д) $ \frac{25 - a^2}{3a - 15} $

е) $ \frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1} $

ж) $ \frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2} $

з) $ \frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}$, заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе являются противоположными: $(2y-x) = -(x-2y)$. Вынесем знак минус в знаменателе за скобки:
$\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} = \frac{a(x-2y)}{b(-(x-2y))} = \frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)}$
Теперь можно сократить общий множитель $(x-2y)$:
$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$
Ответ: $-\frac{a}{b}$

б) В дроби $\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}$ вынесем минус за скобки в знаменателе, так как $(y-x) = -(x-y)$:
$\frac{5x(x-y)}{x^3(-(x-y))} = \frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$ и также сократим $x$ в числителе и $x^3$ в знаменателе:
$\frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2}$
Ответ: $-\frac{5}{x^2}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{3a-36}{12b-ab}$. Сначала вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
Числитель: $3a-36 = 3(a-12)$
Знаменатель: $12b-ab = b(12-a)$
Получаем дробь: $\frac{3(a-12)}{b(12-a)}$
Заметим, что $(12-a) = -(a-12)$. Подставим это в знаменатель:
$\frac{3(a-12)}{b(-(a-12))} = \frac{3(a-12)}{-b(a-12)}$
Сократим общий множитель $(a-12)$:
$\frac{3}{-b} = -\frac{3}{b}$
Ответ: $-\frac{3}{b}$

г) Для дроби $\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}$ вынесем общие множители:
Числитель: $7b-14b^2 = 7b(1-2b)$
Знаменатель: $42b^2-21b = 21b(2b-1)$
Дробь принимает вид: $\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)}$
Выражения $(1-2b)$ и $(2b-1)$ противоположны: $(1-2b) = -(2b-1)$.
$\frac{7b(-(2b-1))}{21b(2b-1)}$
Сокращаем общие множители $b$ и $(2b-1)$, а также числа 7 и 21:
$\frac{7 \cdot (-1)}{21} = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

д) Сократим дробь $\frac{25-a^2}{3a-15}$.
Числитель является разностью квадратов: $25-a^2 = 5^2 - a^2 = (5-a)(5+a)$.
В знаменателе вынесем общий множитель: $3a-15 = 3(a-5)$.
Получаем: $\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)}$
Заменим $(5-a)$ на $-(a-5)$:
$\frac{-(a-5)(5+a)}{3(a-5)}$
Сократим общий множитель $(a-5)$:
$\frac{-(5+a)}{3} = -\frac{a+5}{3}$
Ответ: $-\frac{a+5}{3}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{3-3x}{x^2-2x+1}$.
В числителе вынесем 3 за скобки: $3-3x = 3(1-x)$.
Знаменатель является полным квадратом: $x^2-2x+1 = (x-1)^2$.
Получаем: $\frac{3(1-x)}{(x-1)^2}$
Так как $(1-x) = -(x-1)$, подставим это в числитель:
$\frac{3(-(x-1))}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)}{(x-1)^2}$
Сократим на $(x-1)$:
$\frac{-3}{x-1}$
Ответ: $\frac{-3}{x-1}$

ж) Сократим дробь $\frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $8b^2-8a^2 = 8(b^2-a^2) = 8(b-a)(b+a)$ (разность квадратов).
Знаменатель: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ (квадрат разности).
Дробь: $\frac{8(b-a)(b+a)}{(a-b)^2}$
Заменим $(b-a)$ на $-(a-b)$:
$\frac{8(-(a-b))(b+a)}{(a-b)^2}$
Сократим на $(a-b)$:
$\frac{-8(b+a)}{a-b} = \frac{8(a+b)}{b-a}$
Ответ: $\frac{8(a+b)}{b-a}$

з) Рассмотрим дробь $\frac{(b-2)^3}{(2-b)^2}$.
Заметим, что $(2-b) = -(b-2)$.
Тогда знаменатель можно переписать: $(2-b)^2 = (-(b-2))^2 = (-1)^2(b-2)^2 = (b-2)^2$.
Дробь принимает вид: $\frac{(b-2)^3}{(b-2)^2}$
Сокращаем дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$(b-2)^{3-2} = (b-2)^1 = b-2$
Ответ: $b-2$