Номер 46, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 46, страница 16.

46. Докажите, что значение дроби не зависит от $n$, где $n$ — натуральное число:

а) $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}$

б) $\frac{16^{n+1} - 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} - 1)}$

a)

Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}$ не зависит от натурального числа $n$, необходимо упростить это выражение. Для этого воспользуемся свойствами степеней, в частности, правилом $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
Сначала преобразуем числитель дроби. Вынесем за скобки общий множитель $3^n$:
$3^{n+2} - 3^n = 3^n \cdot 3^2 - 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 - 1) = 3^n(9 - 1) = 8 \cdot 3^n$.
Теперь преобразуем знаменатель дроби. Также вынесем за скобки общий множитель $3^n$:
$3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 + 3 + 1) = 3^n(9 + 3 + 1) = 13 \cdot 3^n$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{8 \cdot 3^n}{13 \cdot 3^n}$.
Так как $n$ — натуральное число, то $3^n \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $3^n$:
$\frac{8 \cdot \cancel{3^n}}{13 \cdot \cancel{3^n}} = \frac{8}{13}$.
В результате мы получили число, которое не содержит переменную $n$. Следовательно, значение дроби не зависит от $n$.

Ответ: $\frac{8}{13}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{16^{n+1} - 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} - 1)}$. Чтобы доказать, что её значение не зависит от $n$, упростим выражение, приведя все степени к основанию 2. Вспомним, что $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$.
Преобразуем числитель, используя свойства степеней $(a^b)^c = a^{bc}$ и $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$:
$16^{n+1} - 2^{n+4} = (2^4)^{n+1} - 2^{n+4} = 2^{4(n+1)} - 2^{n+4} = 2^{4n+4} - 2^{n+4}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{n+4}$:
$2^{4n+4} - 2^{n+4} = 2^{3n} \cdot 2^{n+4} - 1 \cdot 2^{n+4} = 2^{n+4}(2^{3n} - 1)$.
Теперь преобразуем знаменатель:
$4 \cdot 2^n (2^{3n} - 1) = 2^2 \cdot 2^n (2^{3n} - 1) = 2^{n+2}(2^{3n} - 1)$.
Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:
$\frac{2^{n+4}(2^{3n} - 1)}{2^{n+2}(2^{3n} - 1)}$.
Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $3n \ge 3$, и $2^{3n} \ge 8$. Следовательно, выражение $(2^{3n} - 1)$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь на него:
$\frac{2^{n+4}\cancel{(2^{3n} - 1)}}{2^{n+2}\cancel{(2^{3n} - 1)}} = \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}$.
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$, получим:
$2^{(n+4) - (n+2)} = 2^{n+4-n-2} = 2^2 = 4$.
Полученное значение 4 является постоянной величиной и не зависит от $n$.

Ответ: 4.