Номер 43, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 43, страница 16.

43. Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^8+a^5}{a^5+a^2}$ при $a=-\frac{1}{2}$;

б) $\frac{b^{10}-b^8}{b^8-b^6}$ при $b=-0,1$.

а)

Для нахождения значения выражения $\frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$, сперва необходимо его упростить.

1. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе дроби. В числителе это $a^5$, а в знаменателе $a^2$:

$\frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)}$

2. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(a^3 + 1)$. Мы можем сократить дробь на этот множитель, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие для $a = -\frac{1}{2}$:

$(-\frac{1}{2})^3 + 1 = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} \neq 0$

Поскольку условие выполняется, сокращаем дробь:

$\frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)} = \frac{a^5}{a^2}$

3. Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n})$:

$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$

4. Теперь подставим значение $a = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$a^3 = (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6}$ при $b = -0,1$, также начнем с упрощения.

1. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $b^8$, а в знаменателе $b^6$:

$\frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)}$

2. Сократим дробь на общий множитель $(b^2 - 1)$, предварительно проверив, что он не равен нулю при $b = -0,1$:

$(-0,1)^2 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99 \neq 0$

Условие выполняется, поэтому сокращаем:

$\frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)} = \frac{b^8}{b^6}$

3. Применим свойство частного степеней:

$\frac{b^8}{b^6} = b^{8-6} = b^2$

4. Подставим значение $b = -0,1$ в упрощенное выражение:

$b^2 = (-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$

Ответ: $0,01$