Номер 38, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 38, страница 14.

38. Упростите выражение:

а) $\frac{a-b}{b-a}$;

б) $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$;

в) $\frac{(a-b)^2}{b-a}$;

г) $\frac{a-b}{(b-a)^2}$;

д) $\frac{(-a-b)^2}{a+b}$;

е) $\frac{(a+b)^2}{(-a-b)^2}$.

а) Дано выражение $\frac{a-b}{b-a}$.
В знаменателе вынесем знак минус за скобки: $b-a = -(a-b)$.
Подставим это в исходную дробь, получим: $\frac{a-b}{-(a-b)}$.
При условии, что $a \neq b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-b)$.
В результате получаем: $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Дано выражение $\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}$.
Воспользуемся свойством квадрата, согласно которому $(x)^2 = (-x)^2$. В нашем случае, $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Таким образом, выражение преобразуется к виду: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^2}$.
При условии, что $a \neq b$, сокращаем дробь и получаем $1$.
Ответ: $1$.

в) Дано выражение $\frac{(a-b)^2}{b-a}$.
Преобразуем знаменатель, вынеся знак минус: $b-a = -(a-b)$.
Выражение становится равным $\frac{(a-b)^2}{-(a-b)}$.
При условии $a \neq b$ сокращаем дробь на $(a-b)$:
$\frac{(a-b) \cdot (a-b)}{-(a-b)} = \frac{a-b}{-1} = -(a-b) = b-a$.
Ответ: $b-a$.

г) Дано выражение $\frac{a-b}{(b-a)^2}$.
Знаменатель $(b-a)^2$ равен $(a-b)^2$, так как $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Подставляем это в дробь: $\frac{a-b}{(a-b)^2}$.
При условии $a \neq b$ сокращаем на $(a-b)$:
$\frac{a-b}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{1}{a-b}$.
Ответ: $\frac{1}{a-b}$.

д) Дано выражение $\frac{(-a-b)^2}{a+b}$.
В числителе вынесем знак минус за скобки: $(-a-b) = -(a+b)$.
Тогда $(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2$.
Выражение принимает вид $\frac{(a+b)^2}{a+b}$.
При условии $a+b \neq 0$ сокращаем дробь на $(a+b)$, получая $a+b$.
Ответ: $a+b$.

е) Дано выражение $\frac{(a+b)^2}{(-a-b)^2}$.
Преобразуем знаменатель: $(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2$.
Дробь становится равной $\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}$.
При условии $a+b \neq 0$ сокращаем числитель и знаменатель, в результате чего получаем $1$.
Ответ: $1$.