Номер 41, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 41, страница 15.

41. Сократите дробь:

a) $ \frac{ax+bx-ay-by}{bx-by} $;

б) $ \frac{ab-3b-2a+6}{15-5a} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{ax+bx-ay-by}{bx-by}$, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $ax+bx-ay-by$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(ax+bx) - (ay+by)$. Вынесем за скобки общие множители в каждой группе: $x(a+b) - y(a+b)$. Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$: $(a+b)(x-y)$.

2. Разложим на множители знаменатель $bx-by$. Вынесем за скобки общий множитель $b$: $b(x-y)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)}$

4. Сократим общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$):

$\frac{a+b}{b}$

Ответ: $\frac{a+b}{b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{ab-3b-2a+6}{15-5a}$, также разложим её числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $ab-3b-2a+6$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(ab-3b) - (2a-6)$. Вынесем за скобки общие множители в каждой группе: $b(a-3) - 2(a-3)$. Теперь вынесем общий множитель $(a-3)$: $(a-3)(b-2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $15-5a$. Вынесем за скобки общий множитель $5$: $5(3-a)$.

3. Заметим, что выражение $(3-a)$ в знаменателе и $(a-3)$ в числителе отличаются только знаком. Мы можем записать $3-a = -(a-3)$. Тогда знаменатель примет вид: $5 \cdot (-(a-3)) = -5(a-3)$.

4. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a-3)(b-2)}{-5(a-3)}$

5. Сократим общий множитель $(a-3)$ (при условии, что $a-3 \neq 0$):

$\frac{b-2}{-5}$

Это выражение можно записать как $-\frac{b-2}{5}$ или, изменив знаки в числителе, $\frac{-(b-2)}{5} = \frac{2-b}{5}$.

Ответ: $\frac{2-b}{5}$.