Номер 49, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 49, страница 16.

49. Приведите дробь:

а) $\frac{x}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$;

в) $\frac{a}{a-10}$ к знаменателю $10-a$;

б) $\frac{y}{x-a}$ к знаменателю $x^2-a^2$;

г) $\frac{p}{p-2}$ к знаменателю $4-p^2$.

а) Чтобы привести дробь $\frac{x}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$, необходимо определить дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)^2}{a-b} = a-b$

Дополнительный множитель равен $(a-b)$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$.

б) Чтобы привести дробь $\frac{y}{x-a}$ к знаменателю $x^2-a^2$, сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$.

Теперь найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{x^2-a^2}{x-a} = \frac{(x-a)(x+a)}{x-a} = x+a$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(x+a)$:

$\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$

Ответ: $\frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$.

в) Чтобы привести дробь $\frac{a}{a-10}$ к знаменателю $10-a$, заметим, что новый знаменатель является противоположным исходному: $10-a = -(a-10)$.

Следовательно, чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно умножить его на $-1$. Дополнительный множитель равен $-1$.

Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

$\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{-(a-10)} = \frac{-a}{10-a}$

Ответ: $\frac{-a}{10-a}$.

г) Чтобы привести дробь $\frac{p}{p-2}$ к знаменателю $4-p^2$, разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $4-p^2 = (2-p)(2+p)$.

Исходный знаменатель $p-2$ связан с множителем $(2-p)$ соотношением $p-2 = -(2-p)$.

Найдем дополнительный множитель:

$\frac{4-p^2}{p-2} = \frac{(2-p)(2+p)}{-(2-p)} = -(2+p) = -p-2$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(p+2)$:

$\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \frac{-p(p+2)}{-(p-2)(p+2)} = \frac{-p(p+2)}{-(p^2-4)} = \frac{-p(p+2)}{4-p^2}$

Ответ: $\frac{-p(p+2)}{4-p^2}$.