Номер 29, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 29, страница 13.

29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

a) $\frac{3a + 12b}{6ab}$;

б) $\frac{15b - 20c}{10b}$;

в) $\frac{2a - 4}{3(a - 2)}$;

г) $\frac{5x(y + 2)}{6y + 12}$;

д) $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab}$;

е) $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}$.

а)

Исходная дробь: $\frac{3a + 12b}{6ab}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $3a$ и $12b$ это $3$. Вынесем его за скобки: $3a + 12b = 3(a + 4b)$.
2. Знаменатель $6ab$ представим в виде произведения $2 \cdot 3 \cdot a \cdot b$.
3. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{3(a + 4b)}{6ab} = \frac{3(a + 4b)}{2 \cdot 3 \cdot ab}$.
4. Сократим общий множитель $3$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{3}(a + 4b)}{2 \cdot \cancel{3} \cdot ab} = \frac{a + 4b}{2ab}$.
Ответ: $\frac{a + 4b}{2ab}$.

б)

Исходная дробь: $\frac{15b - 20c}{10b}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $15b$ и $20c$ это $5$. Вынесем его за скобки: $15b - 20c = 5(3b - 4c)$.
2. Знаменатель $10b$ представим в виде произведения $2 \cdot 5 \cdot b$.
3. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{5(3b - 4c)}{10b} = \frac{5(3b - 4c)}{2 \cdot 5 \cdot b}$.
4. Сократим общий множитель $5$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{5}(3b - 4c)}{2 \cdot \cancel{5} \cdot b} = \frac{3b - 4c}{2b}$.
Ответ: $\frac{3b - 4c}{2b}$.

в)

Исходная дробь: $\frac{2a - 4}{3(a - 2)}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $2a$ и $4$ это $2$. Вынесем его за скобки: $2a - 4 = 2(a - 2)$.
2. Знаменатель уже представлен в виде произведения множителей: $3(a - 2)$.
3. Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{2(a - 2)}{3(a - 2)}$.
4. Сократим общий множитель $(a - 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 2$): $\frac{2\cancel{(a - 2)}}{3\cancel{(a - 2)}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г)

Исходная дробь: $\frac{5x(y + 2)}{6y + 12}$.
1. Числитель уже представлен в виде произведения множителей: $5x(y + 2)$.
2. Разложим знаменатель на множители. Общий множитель для слагаемых $6y$ и $12$ это $6$. Вынесем его за скобки: $6y + 12 = 6(y + 2)$.
3. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{5x(y + 2)}{6(y + 2)}$.
4. Сократим общий множитель $(y + 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $y \neq -2$): $\frac{5x\cancel{(y + 2)}}{6\cancel{(y + 2)}} = \frac{5x}{6}$.
Ответ: $\frac{5x}{6}$.

д)

Исходная дробь: $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab}$.
1. Числитель $a - 3b$ не раскладывается на более простые множители.
2. Разложим знаменатель на множители. Общий множитель для слагаемых $a^2$ и $3ab$ это $a$. Вынесем его за скобки: $a^2 - 3ab = a(a - 3b)$.
3. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{a - 3b}{a(a - 3b)}$.
4. Сократим общий множитель $(a - 3b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 3b$): $\frac{\cancel{(a - 3b)}}{a\cancel{(a - 3b)}} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

е)

Исходная дробь: $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}$.
1. Разложим числитель на множители. Общий множитель для слагаемых $3x^2$ и $15xy$ это $3x$. Вынесем его за скобки: $3x^2 + 15xy = 3x(x + 5y)$.
2. Знаменатель $x + 5y$ не раскладывается на более простые множители.
3. Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{3x(x + 5y)}{x + 5y}$.
4. Сократим общий множитель $(x + 5y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq -5y$): $\frac{3x\cancel{(x + 5y)}}{\cancel{(x + 5y)}} = 3x$.
Ответ: $3x$.