Номер 27, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 27, страница 13.

27. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{8^{16}}{16^{12}} $;

б) $ \frac{81^{25}}{27^{33}} $.

а)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{8^{16}}{16^{12}}$, необходимо привести степени к общему основанию. Заметим, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{8^{16}}{16^{12}} = \frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^{12}}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

В числителе: $(2^3)^{16} = 2^{3 \cdot 16} = 2^{48}$

В знаменателе: $(2^4)^{12} = 2^{4 \cdot 12} = 2^{48}$

Получаем следующее выражение:

$\frac{2^{48}}{2^{48}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), либо, так как числитель и знаменатель равны, их частное равно 1.

$\frac{2^{48}}{2^{48}} = 2^{48-48} = 2^0 = 1$

Ответ: 1

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{81^{25}}{27^{33}}$ также приведем степени к общему основанию. Числа 81 и 27 являются степенями числа 3:

$81 = 3^4$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{81^{25}}{27^{33}} = \frac{(3^4)^{25}}{(3^3)^{33}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

В числителе: $(3^4)^{25} = 3^{4 \cdot 25} = 3^{100}$

В знаменателе: $(3^3)^{33} = 3^{3 \cdot 33} = 3^{99}$

Получаем выражение:

$\frac{3^{100}}{3^{99}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{100}}{3^{99}} = 3^{100-99} = 3^1 = 3$

Ответ: 3