Номер 22, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 22, страница 9.

22. Разложите на множители:

а) $x^2 - 25$;

б) $16 - c^2$;

в) $a^2 - 6a + 9$;

г) $x^2 + 8x + 16$;

д) $a^3 - 8$;

е) $b^3 + 27$.

а) Выражение $x^2 - 25$ представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители применим формулу сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = x$ и $b^2 = 25$, следовательно $b = 5$.

Подставив значения в формулу, получаем:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.

Ответ: $(x - 5)(x + 5)$.

б) Выражение $16 - c^2$ также является разностью квадратов. Используем ту же формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a^2 = 16$, что означает $a = 4$, и $b = c$.

Применяем формулу:

$16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4 - c)(4 + c)$.

Ответ: $(4 - c)(4 + c)$.

в) Выражение $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член $a^2$ соответствует $x^2$, то есть $x = a$. Третий член $9$ можно представить как $3^2$, что соответствует $y^2$, то есть $y = 3$.

Проверим, соответствует ли средний член $-6a$ удвоенному произведению $-2xy$: $-2 \cdot a \cdot 3 = -6a$. Соответствие есть.

Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности:

$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.

Ответ: $(a - 3)^2$.

г) Выражение $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы. Применим формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь первый член $x^2$ соответствует $a^2$, то есть $a = x$. Третий член $16$ можно представить как $4^2$, что соответствует $b^2$, то есть $b = 4$.

Проверим средний член $8x$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$: $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Соответствие есть.

Таким образом, выражение можно свернуть в квадрат суммы:

$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.

Ответ: $(x + 4)^2$.

д) Выражение $a^3 - 8$ представляет собой разность кубов. Для разложения используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В этом случае $x^3 = a^3$, значит $x = a$. Второй член $8$ является кубом числа $2$, т.е. $8 = 2^3$, значит $y = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

е) Выражение $b^3 + 27$ представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Здесь $x^3 = b^3$, значит $x = b$. Второй член $27$ является кубом числа $3$, т.е. $27 = 3^3$, значит $y = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b + 3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = (b + 3)(b^2 - 3b + 9)$.

Ответ: $(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$.