Номер 18, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 18, страница 9.

18. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:

а) $\frac{4}{a^2+5}$;

б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$?

а) Чтобы найти значение $a$, при котором дробь $\frac{4}{a^2+5}$ принимает наибольшее значение, нужно проанализировать ее структуру. Числитель дроби — это постоянное положительное число 4. Значение такой дроби будет наибольшим, когда ее знаменатель будет наименьшим. Знаменатель дроби равен $a^2+5$. Выражение $a^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $a^2 \ge 0$. Наименьшее значение $a^2$ равно 0 и достигается при $a=0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя $a^2+5$ будет при $a=0$ и равно $0^2+5=5$. Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение при $a=0$.
Ответ: $a=0$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{10}{(a-3)^2+1}$. Аналогично предыдущему случаю, числитель дроби — это постоянное положительное число 10. Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение. Знаменатель дроби равен $(a-3)^2+1$. Выражение $(a-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее значение равно 0, так как $(a-3)^2 \ge 0$. Это наименьшее значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $a-3=0$, что означает $a=3$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя $(a-3)^2+1$ будет при $a=3$ и равно $(3-3)^2+1 = 0^2+1=1$. Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение при $a=3$.
Ответ: $a=3$.