Номер 13, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 13, страница 8.

13. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{x-2}$;

б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$;

в) $y = x + \frac{1}{x+5}$.

а) Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данной функции $y = \frac{1}{x-2}$ присутствует деление на выражение, содержащее переменную. Поскольку деление на ноль не определено, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, которое необходимо исключить из области определения, решив уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Следовательно, областью определения функции являются все действительные числа, кроме $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) В функции $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ знаменатель дроби $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1) $x \neq 0$
2) $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, за исключением $x=-1$ и $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Данная функция $y = x + \frac{1}{x+5}$ является суммой двух слагаемых: $x$ и $\frac{1}{x+5}$. Первое слагаемое, $x$, определено для любых действительных значений $x$. Для второго слагаемого, которое является дробью, необходимо, чтобы ее знаменатель не был равен нулю. Найдем недопустимое значение $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме $x=-5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.