Номер 12, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 12, страница 8.

12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\frac{5y-8}{11}$;

б) $\frac{25}{y-9}$;

в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$;

г) $\frac{y-10}{y^2+3}$;

д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$;

е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$.

а) Допустимые значения переменной (область определения) для выражения $\frac{5y-8}{11}$ — это все значения переменной $y$, при которых выражение имеет смысл. Данное выражение представляет собой дробь, знаменатель которой равен 11. Так как знаменатель не равен нулю ($11 \neq 0$) и не зависит от переменной $y$, никаких ограничений на значения $y$ не накладывается.

Ответ: $y$ — любое число.

б) В выражении $\frac{25}{y-9}$ знаменатель дроби равен $y-9$. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$y-9 = 0$

$y = 9$

Следовательно, переменная $y$ не может принимать значение 9.

Ответ: все числа, кроме $y=9$.

в) В выражении $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ знаменатель равен $y^2-2y$. Знаменатель не должен быть равен нулю. Решим уравнение:

$y^2-2y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y-2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$y=0$ или $y-2=0$

$y=0$ или $y=2$

Таким образом, допустимыми являются все значения $y$, кроме 0 и 2.

Ответ: все числа, кроме $y=0$ и $y=2$.

г) В выражении $\frac{y-10}{y^2+3}$ знаменатель равен $y^2+3$. Проверим, может ли знаменатель быть равен нулю:

$y^2+3 = 0$

$y^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение $y^2 = -3$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $y^2+3$ никогда не равен нулю при любых действительных значениях $y$. Ограничений на переменную $y$ нет.

Ответ: $y$ — любое число.

д) Выражение $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ является суммой двух дробей. Чтобы выражение имело смысл, знаменатель каждой дроби не должен быть равен нулю.

1. Для первой дроби $\frac{y}{y-6}$ знаменатель $y-6 \neq 0$, откуда $y \neq 6$.

2. Для второй дроби $\frac{15}{y+6}$ знаменатель $y+6 \neq 0$, откуда $y \neq -6$.

Оба условия должны выполняться одновременно.

Ответ: все числа, кроме $y=6$ и $y=-6$.

е) Выражение $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ является разностью двух дробей. Знаменатель каждой дроби должен быть отличен от нуля.

1. Для первой дроби $\frac{32}{y}$ знаменатель $y \neq 0$.

2. Для второй дроби $\frac{y+1}{y+7}$ знаменатель $y+7 \neq 0$, откуда $y \neq -7$.

Следовательно, переменная $y$ не может принимать значения 0 и -7.

Ответ: все числа, кроме $y=0$ и $y=-7$.