Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 10, страница 8.

10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:

а) $\frac{x}{x-2}$;

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$;

в) $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$;

г) $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1?$

а) Рациональное выражение $\frac{x}{x-2}$ имеет смысл тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Знаменателем в данном выражении является $x-2$.

Чтобы найти значения переменной, при которых выражение не имеет смысла, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Таким образом, при $x=2$ знаменатель обращается в ноль, и на ноль делить нельзя. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 2.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$.

б) Рациональное выражение $\frac{b+4}{b^2+7}$ имеет смысл тогда, когда его знаменатель $b^2+7$ не равен нулю.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Квадрат любого действительного числа $b$ является неотрицательной величиной, то есть $b^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 7, результат всегда будет положительным:

$b^2 + 7 \ge 0 + 7$

$b^2 + 7 \ge 7$

Поскольку знаменатель $b^2+7$ всегда больше или равен 7, он никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $b$.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях $b$.

в) Выражение $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$ является суммой двух рациональных дробей. Оно имеет смысл тогда, когда знаменатели обеих дробей одновременно не равны нулю.

1. Знаменатель первой дроби, $y$, не должен быть равен нулю: $y \neq 0$.

2. Знаменатель второй дроби, $y-3$, не должен быть равен нулю:

$y - 3 \neq 0$

$y \neq 3$

Оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, переменная $y$ не может принимать значения 0 и 3.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y=0$ и $y=3$.

г) Выражение $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$ имеет смысл тогда, когда знаменатель его дробной части не равен нулю. Знаменатель дроби равен $a(a-1)$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы каждый из его множителей не был равен нулю.

1. Первый множитель: $a \neq 0$.

2. Второй множитель: $a-1 \neq 0$, что означает $a \neq 1$.

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, за исключением $a=0$ и $a=1$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a=0$ и $a=1$.