Номер 15, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 15, страница 9.

15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:

a) $\frac{y-5}{8}$;

б) $\frac{2y+3}{10}$;

в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$;

г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$?

а) Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим дробь $\frac{y-5}{8}$.
Знаменатель дроби равен $8$, он не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю и решим уравнение:
$y - 5 = 0$
$y = 5$
Так как при $y=5$ знаменатель не равен нулю, это значение является решением.
Ответ: $y = 5$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{2y+3}{10}$.
Знаменатель дроби равен $10$, он не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю и решим уравнение:
$2y + 3 = 0$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$ или $y = -1.5$
Так как при $y=-1.5$ знаменатель не равен нулю, это значение является решением.
Ответ: $y = -1.5$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{x(x-1)}{x+4}$.
Сначала найдем область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Оба значения удовлетворяют условию $x \neq -4$, поэтому оба являются решениями.
Ответ: $x = 0$, $x = 1$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{x(x+3)}{2x+6}$.
Сначала найдем область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x + 6 \neq 0$
$2x \neq -6$
$x \neq -3$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x + 3 = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Значение $x = -3$ не входит в область допустимых значений, так как при нем знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Единственным решением является $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.