Номер 19, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 19, страница 9.

19. При каком значении b принимает наименьшее значение дробь:

a) $ \frac{b^2+7}{21} $;

б) $ \frac{(b-2)^2+16}{8} $?

а) Для того чтобы найти значение $b$, при котором дробь $\frac{b^2 + 7}{21}$ принимает наименьшее значение, необходимо проанализировать её структуру. Знаменатель дроби, равный 21, является положительной константой. Следовательно, значение всей дроби будет наименьшим, когда её числитель, $b^2 + 7$, будет наименьшим.

Рассмотрим числитель $b^2 + 7$. Он состоит из двух слагаемых: $b^2$ и 7. Слагаемое $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $b^2$ равно 0. Это значение достигается, когда $b = 0$.

Соответственно, наименьшее значение числителя $b^2 + 7$ будет при $b=0$ и составит $0^2 + 7 = 7$. Таким образом, наименьшее значение дроби достигается при $b=0$.
Ответ: $b = 0$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$. Аналогично предыдущему пункту, знаменатель 8 является положительной константой. Значит, для минимизации дроби необходимо минимизировать её числитель, который равен $(b-2)^2 + 16$.

Числитель состоит из двух слагаемых: $(b-2)^2$ и 16. Слагаемое $(b-2)^2$ является квадратом выражения $b-2$. Как и любой квадрат, это выражение всегда неотрицательно: $(b-2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение выражения $(b-2)^2$ равно 0.

Это наименьшее значение достигается, когда основание степени равно нулю, то есть когда $b-2 = 0$. Решая это простое уравнение, находим $b=2$. При этом значении $b$ числитель $(b-2)^2 + 16$ принимает свое наименьшее значение, равное $(2-2)^2 + 16 = 0^2 + 16 = 16$. Следовательно, дробь принимает наименьшее значение при $b=2$.
Ответ: $b = 2$.