Номер 17, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 17, страница 9.

17. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:

а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно;

б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно;

в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно;

г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно.

а)

Рассмотрим дробь $\frac{3}{x^2 + 1}$.
Числитель дроби, равный 3, является положительным числом ($3 > 0$).
Знаменатель дроби представляет собой выражение $x^2 + 1$.
При любом значении переменной $x$ выражение $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$), что означает, что знаменатель всегда положителен ($x^2 + 1 > 0$).
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби являются положительными числами, их частное также всегда будет положительным.
Таким образом, значение дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно при любом значении $x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{-5}{y^2 + 4}$.
Числитель дроби, равный -5, является отрицательным числом ($-5 < 0$).
Знаменатель дроби представляет собой выражение $y^2 + 4$.
При любом значении переменной $y$ выражение $y^2$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $y^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4 ($y^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$), что означает, что знаменатель всегда положителен ($y^2 + 4 > 0$).
Частное отрицательного числа (-5) и положительного числа ($y^2 + 4$) всегда является отрицательным числом.
Таким образом, значение дроби $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно при любом значении $y$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим дробь $\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}$.
Выражение "неотрицательно" означает "больше или равно нулю" ($\ge 0$).
Числитель дроби представляет собой выражение $(a-1)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Равенство нулю достигается при $a = 1$.
Знаменатель дроби, $a^2 + 10$, всегда положителен. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 10 \ge 0 + 10 = 10$. Таким образом, $a^2 + 10 > 0$.
Частное неотрицательного числа ($(a-1)^2$) и положительного числа ($a^2 + 10$) всегда является неотрицательным числом.
Если $a = 1$, значение дроби равно $\frac{(1-1)^2}{1^2+10} = \frac{0}{11} = 0$.
Если $a \ne 1$, числитель положителен, и значение дроби будет положительным.
Таким образом, значение дроби $\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно при любом значении $a$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{(b-3)^2}{-b^2 - 1}$.
Выражение "неположительно" означает "меньше или равно нулю" ($\le 0$).
Числитель дроби, $(b-3)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(b-3)^2 \ge 0$ при любом значении $b$. Равенство нулю достигается при $b = 3$.
Знаменатель дроби, $-b^2 - 1$, можно преобразовать к виду $-(b^2 + 1)$. Так как $b^2 \ge 0$, то $b^2 + 1 \ge 1$, то есть $b^2+1$ всегда является положительным числом. Следовательно, выражение $-(b^2+1)$ всегда является отрицательным числом ($-b^2 - 1 \le -1$).
Частное неотрицательного числа ($(b-3)^2$) и отрицательного числа ($-b^2 - 1$) всегда является неположительным числом.
Если $b=3$, значение дроби равно $\frac{(3-3)^2}{-3^2-1} = \frac{0}{-10} = 0$.
Если $b \ne 3$, числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому значение дроби будет отрицательным.
Таким образом, значение дроби $\frac{(b-3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно при любом значении $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.