Номер 11, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 11, страница 8.

11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) $x^2 - 8x + 9;$

б) $\frac{1}{6x-3};$

в) $\frac{3x-6}{7};$

г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)};$

д) $\frac{x-5}{x^2+25}-3x;$

е) $\frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}.$

а) Выражение $x^2 - 8x + 9$ является многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как они не содержат операций деления на переменную или извлечения корня четной степени, которые могли бы наложить ограничения. Следовательно, переменная $x$ может принимать любое значение.

Ответ: $x$ – любое число.

б) Выражение $\frac{1}{6x-3}$ является дробным. Допустимыми значениями переменной для дроби являются все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его.

$6x - 3 = 0$

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6}$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, выражение определено для всех значений переменной $x$, кроме $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: все числа, кроме $x = \frac{1}{2}$.

в) В выражении $\frac{3x-6}{7}$ знаменатель равен 7. Так как знаменатель является константой, не равной нулю, и не зависит от переменной $x$, то никаких ограничений на допустимые значения $x$ не накладывается. Выражение определено для любого $x$.

Ответ: $x$ – любое число.

г) В выражении $\frac{x^2 - 8}{4x(x+1)}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, чтобы исключить их.

$4x(x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$4x = 0 \implies x = 0$

$x+1 = 0 \implies x = -1$

Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 0 и -1.

Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = -1$.

д) Выражение $\frac{x-5}{x^2 + 25} - 3x$ является разностью дроби и многочлена. Многочлен $-3x$ определен для всех $x$. Дробь $\frac{x-5}{x^2 + 25}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $x^2 + 25$ равняться нулю.

$x^2 + 25 = 0$

$x^2 = -25$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, уравнение $x^2 = -25$ не имеет действительных решений. Это означает, что знаменатель $x^2 + 25$ никогда не равен нулю. Таким образом, все выражение определено для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ – любое число.

е) Выражение $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$ представляет собой сумму двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю. Установим ограничения для каждой дроби.

Для первой дроби $\frac{x}{x+8}$ знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю:

$x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$

Для второй дроби $\frac{x-8}{x}$ знаменатель $x$ не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

Чтобы все выражение было определено, оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, переменная $x$ не может принимать значения -8 и 0.

Ответ: все числа, кроме $x = -8$ и $x = 0$.