Номер 5, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 5, страница 7.

5. Чему равно значение дроби $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$ при:

а) $a = -3; b = -1;$

б) $a = 1\frac{1}{2}, b = 0,5?$

а)

Чтобы найти значение дроби при $a = -3$ и $b = -1$, подставим эти значения в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$.

1. Сначала вычислим числитель $(a+b)^2 - 1$:

Сумма в скобках: $a+b = -3 + (-1) = -4$.

Возводим сумму в квадрат: $(-4)^2 = 16$.

Вычитаем 1: $16 - 1 = 15$.

2. Теперь вычислим знаменатель $a^2 + 1$:

Возводим $a$ в квадрат: $(-3)^2 = 9$.

Прибавляем 1: $9 + 1 = 10$.

3. Находим значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{15}{10} = 1,5$

Таким образом, выражение выглядит так:

$\frac{((-3) + (-1))^2 - 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9 + 1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$

Ответ: 1,5

б)

Чтобы найти значение дроби при $a = 1\frac{1}{2}$ и $b = 0,5$, подставим эти значения в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$.

Для удобства вычислений преобразуем все числа в один формат. Переведем их в обыкновенные дроби:

$a = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$b = 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

1. Вычислим числитель $(a+b)^2 - 1$:

Сумма в скобках: $a+b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Возводим сумму в квадрат: $2^2 = 4$.

Вычитаем 1: $4 - 1 = 3$.

2. Вычислим знаменатель $a^2 + 1$:

Возводим $a$ в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

Прибавляем 1: $\frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$.

3. Находим значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{3}{\frac{13}{4}} = 3 \div \frac{13}{4} = 3 \cdot \frac{4}{13} = \frac{12}{13}$

Таким образом, выражение выглядит так:

$\frac{(\frac{3}{2} + \frac{1}{2})^2 - 1}{(\frac{3}{2})^2 + 1} = \frac{2^2 - 1}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{4 - 1}{\frac{13}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{12}{13}$

Ответ: $\frac{12}{13}$