Страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Какие из выражений $ \frac{1}{3}a^2b $, $ (x - y)^2 - 4xy $, $ \frac{m+3}{m-3} $, $ \frac{8}{x^2 + y^2} $, $ \frac{a^2 - 2ab}{12} $, $ (c+3)^2 + \frac{2}{c} $ являются целыми, какие — дробными?

Для классификации выражений на целые и дробные необходимо определить, присутствует ли в них операция деления на переменную. Целые выражения не содержат деления на переменную, в то время как дробные содержат.

Целые выражения

Целыми называются выражения, которые состоят из чисел и переменных, соединенных операциями сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Проанализируем данные выражения:

1. $ \frac{1}{3}a^2b $ — это выражение является целым, так как деление выполняется на константу 3, а не на переменную.

2. $ (x - y)^2 - 4xy $ — это выражение является целым. Оно не содержит операции деления на переменную. После упрощения оно преобразуется в многочлен: $ x^2 - 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 6xy + y^2 $.

3. $ \frac{a^2 - 2ab}{12} $ — это выражение является целым, поскольку знаменатель является числом (константой), а не переменной.

Ответ: целыми являются выражения $ \frac{1}{3}a^2b $, $ (x - y)^2 - 4xy $, $ \frac{a^2 - 2ab}{12} $.

Дробные выражения

Дробными называются выражения, которые содержат операцию деления на выражение с переменной.

1. $ \frac{m+3}{m-3} $ — это выражение является дробным, так как в знаменателе находится выражение $ m-3 $, содержащее переменную $ m $.

2. $ \frac{8}{x^2 + y^2} $ — это выражение является дробным, поскольку оно включает деление на выражение $ x^2 + y^2 $, которое содержит переменные.

3. $ (c+3)^2 + \frac{2}{c} $ — это выражение является дробным, так как оно содержит слагаемое $ \frac{2}{c} $, представляющее собой деление на переменную $ c $.

Ответ: дробными являются выражения $ \frac{m+3}{m-3} $, $ \frac{8}{x^2 + y^2} $, $ (c+3)^2 + \frac{2}{c} $.

3. Найдите значение дроби $\frac{y-1}{4}$ при $y = 3; 1; -5; \frac{1}{2}; -1,6; 100.$

Для нахождения значения дроби $\frac{y-1}{4}$ при заданных значениях переменной $y$, необходимо последовательно подставить каждое значение в выражение и выполнить вычисления.

при y = 3

Подставляем $y=3$ в выражение:

$\frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $0,5$

при y = 1

Подставляем $y=1$ в выражение:

$\frac{1-1}{4} = \frac{0}{4} = 0$

Ответ: $0$

при y = -5

Подставляем $y=-5$ в выражение:

$\frac{-5-1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5$

при y = $\frac{1}{2}$

Подставляем $y=\frac{1}{2}$ в выражение:

$\frac{\frac{1}{2}-1}{4} = \frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}{4} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8} = -0,125$

Ответ: $-0,125$

при y = -1,6

Подставляем $y=-1,6$ в выражение:

$\frac{-1,6-1}{4} = \frac{-2,6}{4} = -0,65$

Ответ: $-0,65$

при y = 100

Подставляем $y=100$ в выражение:

$\frac{100-1}{4} = \frac{99}{4} = 24,75$

Ответ: $24,75$

5. Чему равно значение дроби $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$ при:

а) $a = -3; b = -1;$

б) $a = 1\frac{1}{2}, b = 0,5?$

а)

Чтобы найти значение дроби при $a = -3$ и $b = -1$, подставим эти значения в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$.

1. Сначала вычислим числитель $(a+b)^2 - 1$:

Сумма в скобках: $a+b = -3 + (-1) = -4$.

Возводим сумму в квадрат: $(-4)^2 = 16$.

Вычитаем 1: $16 - 1 = 15$.

2. Теперь вычислим знаменатель $a^2 + 1$:

Возводим $a$ в квадрат: $(-3)^2 = 9$.

Прибавляем 1: $9 + 1 = 10$.

3. Находим значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{15}{10} = 1,5$

Таким образом, выражение выглядит так:

$\frac{((-3) + (-1))^2 - 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9 + 1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$

Ответ: 1,5

б)

Чтобы найти значение дроби при $a = 1\frac{1}{2}$ и $b = 0,5$, подставим эти значения в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$.

Для удобства вычислений преобразуем все числа в один формат. Переведем их в обыкновенные дроби:

$a = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$b = 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

1. Вычислим числитель $(a+b)^2 - 1$:

Сумма в скобках: $a+b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Возводим сумму в квадрат: $2^2 = 4$.

Вычитаем 1: $4 - 1 = 3$.

2. Вычислим знаменатель $a^2 + 1$:

Возводим $a$ в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

Прибавляем 1: $\frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$.

3. Находим значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{3}{\frac{13}{4}} = 3 \div \frac{13}{4} = 3 \cdot \frac{4}{13} = \frac{12}{13}$

Таким образом, выражение выглядит так:

$\frac{(\frac{3}{2} + \frac{1}{2})^2 - 1}{(\frac{3}{2})^2 + 1} = \frac{2^2 - 1}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{4 - 1}{\frac{13}{4}} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{12}{13}$

Ответ: $\frac{12}{13}$

2. Из рациональных выражений $7x^2 - 2xy$, $\frac{a}{9}$, $\frac{12}{b}$, $a(a - b) - \frac{b}{3a}$, $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$, $\frac{a}{a+3} - 8$ выпишите те, которые являются:

a) целыми выражениями;

б) дробными выражениями.

а) целыми выражениями;

Целые рациональные выражения — это алгебраические выражения, которые не содержат операции деления на переменную или на выражение с переменной. Деление на число (константу) допускается.

Проанализируем каждое из данных выражений:

• Выражение $7x^2 - 2xy$ является многочленом и не содержит деления на переменную. Следовательно, это целое выражение.
• Выражение $\frac{a}{9}$ можно представить как $\frac{1}{9}a$. Здесь выполняется деление на число 9, а не на переменную. Следовательно, это целое выражение.
• Выражение $\frac{12}{b}$ содержит деление на переменную $b$, поэтому оно не является целым.
• Выражение $a(a-b) - \frac{b}{3a}$ содержит в своей записи деление на переменную $a$. Следовательно, оно не является целым.
• Выражение $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$ содержит деление только на числа 4 и 3. Деления на переменные нет. Следовательно, это целое выражение.
• Выражение $\frac{a-8}{a+3}$ содержит деление на выражение $a+3$, которое включает переменную. Следовательно, оно не является целым.

Таким образом, к целым выражениям относятся те, что не содержат деления на переменную.

Ответ: $7x^2 - 2xy$; $\frac{a}{9}$; $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$.

б) дробными выражениями.

Дробные рациональные выражения — это алгебраические выражения, которые содержат операцию деления на переменную или на выражение с переменной.

Проанализируем каждое из данных выражений на наличие деления на переменную:

• Выражение $7x^2 - 2xy$ не содержит деления на переменную.
• Выражение $\frac{a}{9}$ не содержит деления на переменную.
• Выражение $\frac{12}{b}$ содержит деление на переменную $b$ в знаменателе. Следовательно, это дробное выражение.
• Выражение $a(a-b) - \frac{b}{3a}$ содержит деление на переменную $a$ в знаменателе. Следовательно, это дробное выражение.
• Выражение $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$ не содержит деления на переменную.
• Выражение $\frac{a-8}{a+3}$ содержит деление на выражение с переменной $a+3$. Следовательно, это дробное выражение.

Таким образом, к дробным выражениям относятся те, которые содержат деление на переменную.

Ответ: $\frac{12}{b}$; $a(a-b) - \frac{b}{3a}$; $\frac{a-8}{a+3}$.

4. Найдите значение дроби:

а) $\frac{a-8}{2a+5}$ при $a = -2$;

б) $\frac{b^2+6}{2b}$ при $b = 3.$

а) Чтобы найти значение дроби при $a = -2$, нужно подставить это значение в выражение $\frac{a-8}{2a+5}$.

Сначала вычислим значение числителя:

$a - 8 = -2 - 8 = -10$

Затем вычислим значение знаменателя:

$2a + 5 = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{-10}{1} = -10$

Ответ: -10.

б) Чтобы найти значение дроби при $b = 3$, нужно подставить это значение в выражение $\frac{b^2+6}{2b}$.

Сначала вычислим значение числителя:

$b^2 + 6 = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15$

Затем вычислим значение знаменателя:

$2b = 2 \cdot 3 = 6$

Теперь разделим числитель на знаменатель и сократим дробь:

$\frac{15}{6} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5.