Страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь:

а) $ \frac{2x}{3x}; $

б) $ \frac{15x}{25y}; $

в) $ \frac{6a}{24a}; $

г) $ \frac{7ab}{21bc}; $

д) $ \frac{-2xy}{5x^2y}; $

е) $ \frac{8x^2y^2}{24xy}. $

а) Дана дробь $\frac{2x}{3x}$. Числитель $2x$ можно представить как произведение $2 \cdot x$. Знаменатель $3x$ можно представить как произведение $3 \cdot x$.
Общим множителем для числителя и знаменателя является $x$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $x$:
$\frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Дана дробь $\frac{15x}{25y}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $15x = 3 \cdot 5 \cdot x$.
Знаменатель: $25y = 5 \cdot 5 \cdot y$.
Общим множителем для числовых коэффициентов 15 и 25 является их наибольший общий делитель, равный 5. Общих переменных у числителя и знаменателя нет.
Таким образом, общий множитель для числителя и знаменателя равен 5.
Сократим дробь на 5:
$\frac{15x}{25y} = \frac{3 \cdot 5 \cdot x}{5 \cdot 5 \cdot y} = \frac{3x}{5y}$.
Ответ: $\frac{3x}{5y}$.

в) Дана дробь $\frac{6a}{24a}$.
Общим множителем для коэффициентов 6 и 24 является 6. Общим множителем для переменных является $a$.
Следовательно, общий множитель для числителя и знаменателя - это $6a$.
Сократим дробь на $6a$:
$\frac{6a}{24a} = \frac{1 \cdot 6a}{4 \cdot 6a} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Дана дробь $\frac{7ab}{21bc}$.
Общим множителем для коэффициентов 7 и 21 является 7. Общим множителем для переменных является $b$.
Следовательно, общий множитель для числителя и знаменателя - это $7b$.
Сократим дробь на $7b$:
$\frac{7ab}{21bc} = \frac{a \cdot (7b)}{3c \cdot (7b)} = \frac{a}{3c}$.
Ответ: $\frac{a}{3c}$.

д) Дана дробь $\frac{-2xy}{5x^2y}$.
Числовые коэффициенты -2 и 5 не имеют общих делителей, кроме 1. Общим множителем для переменных является $xy$, так как $x^2y = x \cdot (xy)$.
Следовательно, общий множитель для числителя и знаменателя - это $xy$.
Сократим дробь на $xy$:
$\frac{-2xy}{5x^2y} = \frac{-2 \cdot (xy)}{5x \cdot (xy)} = \frac{-2}{5x} = -\frac{2}{5x}$.
Ответ: $-\frac{2}{5x}$.

е) Дана дробь $\frac{8x^2y^2}{24xy}$.
Общим множителем для коэффициентов 8 и 24 является 8. Общим множителем для переменных является $xy$.
Следовательно, общий множитель для числителя и знаменателя - это $8xy$.
Сократим дробь на $8xy$:
$\frac{8x^2y^2}{24xy} = \frac{xy \cdot (8xy)}{3 \cdot (8xy)} = \frac{xy}{3}$.
Ответ: $\frac{xy}{3}$.

24. Сократите дробь:

а) $\frac{10xz}{15yz}$;

б) $\frac{6ab^2}{9bc^2}$;

в) $\frac{2ay^3}{-4a^2b}$;

г) $\frac{-6p^2q}{-2q^3}$;

д) $\frac{24a^2c^2}{36ac}$;

е) $\frac{63x^2y^3}{42x^6y^4}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{10xz}{15yz}$, мы находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и общие переменные для числителя и знаменателя.
Коэффициенты 10 и 15 имеют НОД, равный 5. Разделим их на 5: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
В числителе и знаменателе есть общая переменная $z$, на которую мы также можем сократить дробь.
Выполним сокращение: $\frac{10xz}{15yz} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot z}{3 \cdot 5 \cdot y \cdot z} = \frac{2x}{3y}$.
Ответ: $\frac{2x}{3y}$.

б) Сокращаем дробь $\frac{6ab^2}{9bc^2}$.
НОД коэффициентов 6 и 9 равен 3. Сокращаем на 3: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Общий множитель переменных — $b$. Сокращаем на $b$.
Выполним сокращение: $\frac{6ab^2}{9bc^2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot b}{3 \cdot 3 \cdot b \cdot c^2} = \frac{2ab}{3c^2}$.
Ответ: $\frac{2ab}{3c^2}$.

в) Сокращаем дробь $\frac{2ay^3}{-4a^2b}$.
Сокращаем коэффициенты $\frac{2}{-4}$ на 2, получаем $-\frac{1}{2}$.
Сокращаем переменные. Общий множитель — $a$. Используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Объединяем результаты: $\frac{2ay^3}{-4a^2b} = \frac{2}{-4} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{y^3}{b} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{y^3}{b} = -\frac{y^3}{2ab}$.
Ответ: $-\frac{y^3}{2ab}$.

г) Сокращаем дробь $\frac{-6p^2q}{-2q^3}$.
Сокращаем коэффициенты $\frac{-6}{-2}$, получаем 3 (минус на минус дает плюс).
Сокращаем переменные. Общий множитель — $q$. По правилу деления степеней: $\frac{q}{q^3} = q^{1-3} = q^{-2} = \frac{1}{q^2}$.
Объединяем результаты: $\frac{-6p^2q}{-2q^3} = 3 \cdot p^2 \cdot \frac{1}{q^2} = \frac{3p^2}{q^2}$.
Ответ: $\frac{3p^2}{q^2}$.

д) Сокращаем дробь $\frac{24a^2c^2}{36ac}$.
НОД коэффициентов 24 и 36 равен 12. Сокращаем на 12: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.
Сокращаем переменные. Для $a$: $\frac{a^2}{a} = a$. Для $c$: $\frac{c^2}{c} = c$.
Объединяем результаты: $\frac{24a^2c^2}{36ac} = \frac{2 \cdot 12 \cdot a^2 \cdot c^2}{3 \cdot 12 \cdot a \cdot c} = \frac{2ac}{3}$.
Ответ: $\frac{2ac}{3}$.

е) Сокращаем дробь $\frac{63x^2y^3}{42x^6y^4}$.
НОД коэффициентов 63 и 42 равен 21. Сокращаем на 21: $\frac{63}{42} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные по правилу деления степеней:
Для $x$: $\frac{x^2}{x^6} = x^{2-6} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$.
Для $y$: $\frac{y^3}{y^4} = y^{3-4} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Объединяем результаты: $\frac{63}{42} \cdot \frac{x^2}{x^6} \cdot \frac{y^3}{y^4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{2x^4y}$.
Ответ: $\frac{3}{2x^4y}$.