Страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Разложите на множители:

а) $5bc - 5c;$

б) $10n + 15n^2;$

в) $8ab + 12bc;$

г) $5y - 5x + y^2 - xy;$

д) $a^2 - 9;$

е) $x^2 + 10x + 25;$

ж) $y^2 - 2y + 1;$

з) $a^3 + 64;$

и) $b^3 - 1.$

а) В выражении $5bc - 5c$ оба члена имеют общий множитель $5c$. Выносим его за скобки, разделив каждый член на $5c$:
$5bc - 5c = 5c \cdot b - 5c \cdot 1 = 5c(b - 1)$.
Ответ: $5c(b - 1)$.

б) В выражении $10n + 15n^2$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 10 и 15, который равен 5. Общий множитель для переменных - это $n$ в наименьшей степени, то есть $n^1$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5n$:
$10n + 15n^2 = 5n \cdot 2 + 5n \cdot 3n = 5n(2 + 3n)$.
Ответ: $5n(2 + 3n)$.

в) В выражении $8ab + 12bc$ найдем НОД для коэффициентов 8 и 12, который равен 4. Общая переменная в обоих членах - $b$. Выносим общий множитель $4b$ за скобки:
$8ab + 12bc = 4b \cdot 2a + 4b \cdot 3c = 4b(2a + 3c)$.
Ответ: $4b(2a + 3c)$.

г) Для разложения выражения $5y - 5x + y^2 - xy$ используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:
$(5y + y^2) - (5x + xy)$.
Из первой скобки вынесем $y$, а из второй - $x$:
$y(5 + y) - x(5 + y)$.
Теперь у нас появился общий множитель $(5 + y)$, который мы выносим за скобки:
$(5 + y)(y - x)$.
Ответ: $(y - x)(y + 5)$.

д) Выражение $a^2 - 9$ представляет собой разность квадратов, так как $9$ можно представить как $3^2$. Применяем формулу сокращенного умножения для разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 3)$.

е) Выражение $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом суммы. Применяем формулу квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В данном случае $A^2 = x^2$, следовательно, $A = x$. $B^2 = 25$, следовательно, $B = 5$. Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$. Оно совпадает со средним членом выражения.
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
Ответ: $(x + 5)^2$.

ж) Выражение $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности. Применяем формулу квадрата разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^2$, значит $A = y$. $B^2 = 1$, значит $B = 1$. Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot y \cdot 1 = 2y$.
$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)^2$.

з) Выражение $a^3 + 64$ представляет собой сумму кубов, так как $64$ это $4^3$. Используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$:
$a^3 + 64 = a^3 + 4^3 = (a + 4)(a^2 - a \cdot 4 + 4^2) = (a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.
Ответ: $(a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.

и) Выражение $b^3 - 1$ представляет собой разность кубов, так как $1$ это $1^3$. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$:
$b^3 - 1 = b^3 - 1^3 = (b - 1)(b^2 + b \cdot 1 + 1^2) = (b - 1)(b^2 + b + 1)$.
Ответ: $(b - 1)(b^2 + b + 1)$.

52. Расположите выражения:

a) $\frac{5}{16} : 6$, $\frac{5}{16} \cdot 0,1$, $\frac{5}{16} \cdot (-7)$ в порядке возрастания их значений;

б) $0,8 \cdot (-0,4)$, $0,8 : (-0,4)$, $0,8 - (-0,4)$, $0,8 + (-0,4)$ в порядке убывания их значений.

а) Чтобы расположить выражения в порядке возрастания, сравним их значения. Все выражения содержат общий множитель $\frac{5}{16}$. Так как $\frac{5}{16}$ — положительное число, то для сравнения выражений достаточно сравнить числа, на которые оно умножается или делится.

Представим выражения в виде произведения:

Первое выражение: $\frac{5}{16} : 6 = \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{6}$.
Второе выражение: $\frac{5}{16} \cdot 0,1 = \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{10}$.
Третье выражение: $\frac{5}{16} \cdot (-7)$.

Теперь сравним множители: $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{10}$ и $-7$.

Число $-7$ является наименьшим, так как оно отрицательное, а остальные два — положительные.Сравним положительные дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{6}$. У дробей с одинаковыми числителями (равными 1) большей будет та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $6 < 10$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{10}$.

Таким образом, множители в порядке возрастания располагаются так: $-7 < \frac{1}{10} < \frac{1}{6}$.

Поскольку мы умножаем эти числа на положительное число $\frac{5}{16}$, порядок неравенства сохраняется:

$\frac{5}{16} \cdot (-7) < \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{10} < \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{6}$

Подставляя обратно исходные выражения, получаем итоговый ряд в порядке возрастания их значений:

$\frac{5}{16} \cdot (-7)$, $\frac{5}{16} \cdot 0,1$, $\frac{5}{16} : 6$.

Ответ: $\frac{5}{16} \cdot (-7)$, $\frac{5}{16} \cdot 0,1$, $\frac{5}{16} : 6$.

б) Чтобы расположить выражения в порядке убывания, вычислим значение каждого из них.

1. Вычислим произведение: $0,8 \cdot (-0,4) = -0,32$.
2. Вычислим частное: $0,8 : (-0,4) = -\frac{0,8}{0,4} = -2$.
3. Вычислим разность: $0,8 - (-0,4) = 0,8 + 0,4 = 1,2$.
4. Вычислим сумму: $0,8 + (-0,4) = 0,8 - 0,4 = 0,4$.

Мы получили следующие значения: $-0,32$, $-2$, $1,2$, $0,4$.

Расположим эти числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему). Сначала идут положительные числа в порядке убывания, затем отрицательные. Среди отрицательных чисел большим является то, у которого модуль меньше ($|-0,32| < |-2|$).

Итоговый порядок чисел: $1,2 > 0,4 > -0,32 > -2$.

Теперь сопоставим значения с исходными выражениями:
$1,2$ соответствует $0,8 - (-0,4)$.
$0,4$ соответствует $0,8 + (-0,4)$.
$-0,32$ соответствует $0,8 \cdot (-0,4)$.
$-2$ соответствует $0,8 : (-0,4)$.

Следовательно, выражения в порядке убывания их значений:

$0,8 - (-0,4)$, $0,8 + (-0,4)$, $0,8 \cdot (-0,4)$, $0,8 : (-0,4)$.

Ответ: $0,8 - (-0,4)$, $0,8 + (-0,4)$, $0,8 \cdot (-0,4)$, $0,8 : (-0,4)$.

1 Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.

целых выражений

Целые выражения — это алгебраические выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также возведения в натуральную степень. Ключевой особенностью целых выражений является то, что они не содержат операции деления на переменную. При этом деление на число, не равное нулю, в таких выражениях допускается. По сути, любой многочлен является целым выражением.

Примеры целых выражений:
1) Одночлен (произведение чисел и переменных в натуральных степенях): $12x^2y$
2) Многочлен (сумма одночленов): $a^2 - 5ab + 3b^2$
3) Выражение, включающее деление на число: $\frac{m+n}{7}$
4) Числовое выражение или отдельная переменная: $25$, $c$

Ответ: $5x-y$; $a^3 + 2b^2 - 1$; $16k$; $\frac{c-8}{3}$.

дробных выражений

Дробные выражения — это алгебраические выражения, которые, в отличие от целых, содержат операцию деления на переменную или на выражение с переменной. Это означает, что в знаменателе дроби обязательно присутствует переменная.

Примеры дробных выражений:
1) Дробь с переменной в знаменателе: $\frac{10}{x}$
2) Дробь, у которой и числитель, и знаменатель содержат переменные: $\frac{a+b}{a-b}$
3) Сумма целого и дробного выражений: $k + \frac{2}{k}$
4) Более сложное дробное выражение: $\frac{3y^2-1}{y^2+y-6}$

Ответ: $\frac{z+4}{z}$; $x + \frac{1}{y}$; $\frac{a^2-9}{b^2+1}$.

3. Дайте определение тождества. Приведите пример.

Тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Иными словами, какое бы допустимое значение ни принимала переменная, левая и правая части равенства будут равны. Областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называется множество всех её значений, при которых выражения в обеих частях равенства имеют смысл. Например, для равенства $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ значение $x=1$ является недопустимым, так как знаменатель обращается в ноль, но для всех остальных значений $x$ это равенство будет тождеством.

Примером тождества является одна из формул сокращенного умножения — квадрат суммы: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ Это равенство справедливо для любых значений переменных $a$ и $b$.

Чтобы доказать, что это тождество, нужно преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентичной другой. Преобразуем левую часть, используя определение степени и распределительный закон умножения: $$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b $$ Применяя переместительный закон умножения ($ab = ba$) и приводя подобные слагаемые, получаем: $$ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ Поскольку левая часть после преобразований стала равна правой ($a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$), мы доказали, что исходное равенство является тождеством.

Другие примеры тождеств:
- Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
- Распределительный закон: $c(a+b) = ca + cb$

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Пример тождества: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

5 Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

Значение алгебраической дроби определяется тремя знаками: знаком перед самой дробью, знаком числителя и знаком знаменателя. Правило изменения знака перед дробью основано на том, что одновременное изменение любых двух из этих трех знаков на противоположные не изменяет значения дроби.

Сформулируем правило:

Если изменить знак перед дробью на противоположный, то для сохранения равенства необходимо изменить на противоположный знак либо у числителя, либо у знаменателя.

Это правило можно выразить с помощью следующих тождеств, где $b \neq 0$:

$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$

И обратно:

$\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b} = -\frac{a}{-b}$

Рассмотрим на примерах:

• Изменение знака числителя: Если мы хотим внести знак "минус" в дробь, мы можем изменить знак числителя.
  Например, выражение $-\frac{x-5}{y+2}$ можно преобразовать, изменив знак числителя $(x-5)$ на $-(x-5) = -x+5 = 5-x$:
  $-\frac{x-5}{y+2} = \frac{-(x-5)}{y+2} = \frac{5-x}{y+2}$
  Таким образом, выражения $-\frac{x-5}{y+2}$ и $\frac{5-x}{y+2}$ тождественно равны.
• Изменение знака знаменателя: Аналогично, мы можем внести "минус" перед дробью в ее знаменатель.
  Для той же дроби $-\frac{x-5}{y+2}$ изменим знак знаменателя $(y+2)$ на $-(y+2) = -y-2$:
  $-\frac{x-5}{y+2} = \frac{x-5}{-(y+2)} = \frac{x-5}{-y-2}$
  Таким образом, выражения $-\frac{x-5}{y+2}$ и $\frac{x-5}{-y-2}$ также тождественно равны.

Важное замечание: Если одновременно с изменением знака перед дробью изменить знаки и числителя, и знаменателя, то значение дроби изменится на противоположное, что будет ошибкой. Это следует из того, что $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.

Например, $-\frac{a}{b} \neq \frac{-a}{-b}$, так как $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$, и равенство $-\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ выполняется только при $a=0$.

Ответ: Чтобы изменить знак перед дробью на противоположный, необходимо изменить на противоположный знак числителя или знак знаменателя этой дроби. Это свойство выражается тождествами: $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$ и $\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b} = -\frac{a}{-b}$.

Приведите 2 примера целых выражений и 2 примера дробных выражений.

2. Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.

Какую дробь называют рациональной?

Рациональной дробью, также называемой рациональным (или алгебраическим) выражением, называют дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.

В общем виде рациональная дробь записывается как $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены. Обязательным условием является то, что многочлен в знаменателе не должен быть тождественно равен нулю, то есть $Q \neq 0$.

Переменные, которые входят в состав многочленов, могут принимать любые значения из области определения выражения, то есть любые значения, кроме тех, при которых знаменатель $Q$ обращается в ноль.

Ответ: Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q \neq 0$.

Приведите пример.

Вот несколько примеров рациональных дробей:

1. $\frac{x+7}{x-2}$. Здесь числитель $P(x) = x+7$ и знаменатель $Q(x) = x-2$ являются многочленами. Область определения этой дроби — все числа, кроме $x=2$.

2. $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a+b}$. Это рациональная дробь с двумя переменными $a$ и $b$. Ее можно также записать как $\frac{(a-b)^2}{a+b}$.

3. $\frac{5}{y^2+1}$. В этом примере числитель является многочленом нулевой степени (числом). Знаменатель $y^2+1$ никогда не равен нулю при любых действительных значениях $y$.

4. $x^3 - 4x$. Любой многочлен можно считать рациональной дробью, если представить его со знаменателем 1: $\frac{x^3 - 4x}{1}$.

Выражение $\frac{\sqrt{x}+3}{x}$ не является рациональной дробью, так как числитель $\sqrt{x}+3$ не является многочленом из-за наличия корня.

Ответ: Примером рациональной дроби является $\frac{x+7}{x-2}$.

4. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.

Формулировка

Основное свойство дроби заключается в том, что если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

В виде формулы это записывается так: для любой дроби $\frac{a}{b}$ (где $b \neq 0$) и любого числа $c \neq 0$ справедливо равенство:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Аналогично, если числитель $a$ и знаменатель $b$ имеют общий делитель $d$, то:

$\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}$

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Доказательство

Докажем равенство $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ при условии, что $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

1. По определению обыкновенной дроби, запись $\frac{a}{b}$ представляет собой результат деления числа $a$ на число $b$. Обозначим это частное как $x$. Таким образом, $\frac{a}{b} = x$. Из определения деления следует, что $a = b \cdot x$.

2. Теперь рассмотрим дробь $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$. Она представляет собой частное от деления $(a \cdot c)$ на $(b \cdot c)$. Обозначим это частное как $y$. То есть, $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = y$, что эквивалентно равенству $a \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$.

3. Наша задача — доказать, что $x=y$, что будет означать равенство исходных дробей.

4. В равенство из пункта 2, $a \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$, подставим выражение для $a$ из пункта 1 ($a = b \cdot x$). Получим:

$(b \cdot x) \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$

5. На основании сочетательного и переместительного законов умножения, мы можем изменить порядок множителей в левой части уравнения:

$(b \cdot x) \cdot c = b \cdot (x \cdot c) = b \cdot (c \cdot x) = (b \cdot c) \cdot x$

6. Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$(b \cdot c) \cdot x = (b \cdot c) \cdot y$

7. Поскольку по условию $b \neq 0$ и $c \neq 0$, их произведение $b \cdot c$ также не равно нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(b \cdot c)$:

$x = y$

8. Так как мы установили, что $x = \frac{a}{b}$ и $y = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$, то из равенства $x=y$ следует, что $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$.

Доказательство свойства для деления является обратной операцией. Если мы начинаем с дроби $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ и делим ее числитель и знаменатель на $c$, мы получаем дробь $\frac{(a \cdot c) \div c}{(b \cdot c) \div c} = \frac{a}{b}$, которая, как мы только что доказали, равна исходной.

Ответ: Доказательство основано на определении дроби как частного от деления. Обозначив $\frac{a}{b}$ как $x$ (то есть $a=b \cdot x$) и $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ как $y$ (то есть $a \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$), мы подставляем первое выражение во второе и получаем $(b \cdot x) \cdot c = (b \cdot c) \cdot y$. Используя свойства умножения, приходим к равенству $(b \cdot c) \cdot x = (b \cdot c) \cdot y$. Так как $b \cdot c \neq 0$, мы можем разделить обе части на это произведение, получая $x=y$, что и доказывает равенство $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$.