Страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

80. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $x + \frac{1}{y}$;

б) $\frac{1}{a} - a$;

в) $3a - \frac{a}{4}$;

г) $5b - \frac{2}{b}$;

д) $\frac{a^2 + b}{a} - a$;

е) $2p - \frac{4p^2 + 1}{2p}$;

ж) $\frac{(a-b)^2}{2a} + b$;

з) $c - \frac{(b+c)^2}{2b}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $x + \frac{1}{y}$ в дробь, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь $y$. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем $y$: $x = \frac{x}{1} = \frac{x \cdot y}{y} = \frac{xy}{y}$. Теперь выполним сложение дробей: $x + \frac{1}{y} = \frac{xy}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy+1}{y}$.
Ответ: $\frac{xy+1}{y}$

б) Чтобы преобразовать выражение $\frac{1}{a} - a$ в дробь, приведем его члены к общему знаменателю $a$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $a = \frac{a}{1} = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{1}{a} - a = \frac{1}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{1-a^2}{a}$.
Ответ: $\frac{1-a^2}{a}$

в) В выражении $3a - \frac{a}{4}$ общий знаменатель равен 4. Приведем $3a$ к знаменателю 4: $3a = \frac{3a \cdot 4}{4} = \frac{12a}{4}$. Выполним вычитание дробей: $3a - \frac{a}{4} = \frac{12a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{12a-a}{4} = \frac{11a}{4}$.
Ответ: $\frac{11a}{4}$

г) В выражении $5b - \frac{2}{b}$ общий знаменатель равен $b$. Приведем $5b$ к знаменателю $b$: $5b = \frac{5b \cdot b}{b} = \frac{5b^2}{b}$. Выполним вычитание: $5b - \frac{2}{b} = \frac{5b^2}{b} - \frac{2}{b} = \frac{5b^2-2}{b}$.
Ответ: $\frac{5b^2-2}{b}$

д) В выражении $\frac{a^2+b}{a} - a$ общий знаменатель $a$. Представим $a$ как дробь со знаменателем $a$: $a = \frac{a^2}{a}$. Выполним вычитание: $\frac{a^2+b}{a} - a = \frac{a^2+b}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{(a^2+b)-a^2}{a} = \frac{a^2+b-a^2}{a} = \frac{b}{a}$.
Ответ: $\frac{b}{a}$

е) В выражении $2p - \frac{4p^2+1}{2p}$ общий знаменатель $2p$. Приведем $2p$ к знаменателю $2p$: $2p = \frac{2p \cdot 2p}{2p} = \frac{4p^2}{2p}$. Выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю: $2p - \frac{4p^2+1}{2p} = \frac{4p^2}{2p} - \frac{4p^2+1}{2p} = \frac{4p^2 - (4p^2+1)}{2p} = \frac{4p^2 - 4p^2 - 1}{2p} = \frac{-1}{2p} = -\frac{1}{2p}$.
Ответ: $-\frac{1}{2p}$

ж) В выражении $\frac{(a-b)^2}{2a} + b$ общий знаменатель $2a$. Приведем $b$ к знаменателю $2a$: $b = \frac{b \cdot 2a}{2a} = \frac{2ab}{2a}$. Выполним сложение: $\frac{(a-b)^2}{2a} + b = \frac{(a-b)^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{(a-b)^2+2ab}{2a}$. Раскроем квадрат разности в числителе по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$: $\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{2a} = \frac{a^2+b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{2a}$

з) В выражении $c - \frac{(b+c)^2}{2b}$ общий знаменатель $2b$. Приведем $c$ к знаменателю $2b$: $c = \frac{c \cdot 2b}{2b} = \frac{2bc}{2b}$. Выполним вычитание: $c - \frac{(b+c)^2}{2b} = \frac{2bc}{2b} - \frac{(b+c)^2}{2b} = \frac{2bc - (b+c)^2}{2b}$. Раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$: $\frac{2bc - (b^2+2bc+c^2)}{2b} = \frac{2bc - b^2 - 2bc - c^2}{2b} = \frac{-b^2-c^2}{2b} = -\frac{b^2+c^2}{2b}$.
Ответ: $-\frac{b^2+c^2}{2b}$

82. Представьте в виде дроби:

а) $1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4};$

б) $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b};$

в) $\frac{a-2}{2} - 1 - \frac{a-3}{3};$

г) $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3};$

д) $\frac{a+b}{4} - a + b;$

е) $a + b - \frac{a^2+b^2}{a}.$

а) Чтобы представить выражение $1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4}$ в виде одной дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей со знаменателями 1, 5 и 4 — это их наименьшее общее кратное, которое равно 20.

Представим каждый член выражения в виде дроби со знаменателем 20:
$1 = \frac{20}{20}$
$\frac{a}{5} = \frac{a \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4a}{20}$
$\frac{b}{4} = \frac{b \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5b}{20}$

Теперь выполним вычитание дробей:
$1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4} = \frac{20}{20} - \frac{4a}{20} - \frac{5b}{20} = \frac{20 - 4a - 5b}{20}$

Ответ: $\frac{20 - 4a - 5b}{20}$

б) Для выражения $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ общим знаменателем будет $ab$.

Приведем все члены к этому знаменателю:
$12 = \frac{12ab}{ab}$
$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b}{ab}$
$\frac{1}{b} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a}{ab}$

Выполним вычитание:
$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{12ab}{ab} - \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{12ab - b - a}{ab}$

Ответ: $\frac{12ab - a - b}{ab}$

в) Для выражения $\frac{a-2}{2} - 1 - \frac{a-3}{3}$ общим знаменателем является 6.

Приведем все члены к знаменателю 6:
$\frac{a-2}{2} = \frac{(a-2) \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3a-6}{6}$
$1 = \frac{6}{6}$
$\frac{a-3}{3} = \frac{(a-3) \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2a-6}{6}$

Теперь объединим дроби, обращая внимание на знаки:
$\frac{3a-6}{6} - \frac{6}{6} - \frac{2a-6}{6} = \frac{(3a-6) - 6 - (2a-6)}{6} = \frac{3a-6-6-2a+6}{6}$

Упростим числитель:
$3a-2a-6-6+6 = a-6$

Результат:
$\frac{a-6}{6}$

Ответ: $\frac{a-6}{6}$

г) Для выражения $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3}$ общим знаменателем является 12.

Приведем все члены к знаменателю 12:
$4a = \frac{4a \cdot 12}{12} = \frac{48a}{12}$
$\frac{a-1}{4} = \frac{(a-1) \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3a-3}{12}$
$\frac{a+2}{3} = \frac{(a+2) \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4a+8}{12}$

Объединим дроби:
$\frac{48a}{12} - \frac{3a-3}{12} - \frac{4a+8}{12} = \frac{48a - (3a-3) - (4a+8)}{12} = \frac{48a - 3a + 3 - 4a - 8}{12}$

Упростим числитель:
$(48a - 3a - 4a) + (3 - 8) = 41a - 5$

Результат:
$\frac{41a - 5}{12}$

Ответ: $\frac{41a - 5}{12}$

д) Для выражения $\frac{a+b}{4} - a + b$ общим знаменателем является 4.

Приведем все члены к знаменателю 4:
$-a = -\frac{4a}{4}$
$b = \frac{4b}{4}$

Объединим дроби:
$\frac{a+b}{4} - \frac{4a}{4} + \frac{4b}{4} = \frac{a+b - 4a + 4b}{4}$

Упростим числитель:
$(a - 4a) + (b + 4b) = -3a + 5b = 5b - 3a$

Результат:
$\frac{5b-3a}{4}$

Ответ: $\frac{5b - 3a}{4}$

е) Для выражения $a + b - \frac{a^2 + b^2}{a}$ общим знаменателем является $a$.

Приведем все члены к знаменателю $a$:
$a = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$
$b = \frac{b \cdot a}{a} = \frac{ab}{a}$

Объединим дроби:
$\frac{a^2}{a} + \frac{ab}{a} - \frac{a^2+b^2}{a} = \frac{a^2 + ab - (a^2+b^2)}{a} = \frac{a^2 + ab - a^2 - b^2}{a}$

Упростим числитель:
$a^2 - a^2 + ab - b^2 = ab - b^2$

Результат:
$\frac{ab-b^2}{a}$

Ответ: $\frac{ab - b^2}{a}$

84. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c}$;

б) $\frac{x+1}{x-2} - \frac{x+3}{x}$;

в) $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$;

г) $\frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a+1}$;

д) $\frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2}$;

е) $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{1+3p}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{b-c}{b}$ и $\frac{b}{b+c}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей $b(b+c)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b+c)$, а второй дроби — на $b$:

$\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c} = \frac{(b-c)(b+c)}{b(b+c)} + \frac{b \cdot b}{b(b+c)}$

Складываем числители, оставляя общий знаменатель без изменений:

$\frac{(b-c)(b+c) + b^2}{b(b+c)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(b-c)(b+c) = b^2 - c^2$:

$\frac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b+c)} = \frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$

Ответ: $\frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$.

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{x+1}{x-2}$ и $\frac{x+3}{x}$, приведем их к общему знаменателю $x(x-2)$.

Домножим первую дробь на $x$, а вторую — на $(x-2)$:

$\frac{x+1}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{(x+1)x}{x(x-2)} - \frac{(x+3)(x-2)}{x(x-2)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{x(x+1) - (x+3)(x-2)}{x(x-2)}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$x(x+1) = x^2 + x$

$(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

$(x^2 + x) - (x^2 + x - 6) = x^2 + x - x^2 - x + 6 = 6$

Итоговая дробь:

$\frac{6}{x(x-2)}$

Ответ: $\frac{6}{x(x-2)}$.

в) Выполним вычитание дробей $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$. Общий знаменатель — $(m-n)(m+n)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m+n) - n(m-n)}{(m-n)(m+n)}$

Упростим числитель:

$m(m+n) - n(m-n) = m^2 + mn - (mn - n^2) = m^2 + mn - mn + n^2 = m^2 + n^2$

Знаменатель можно записать как разность квадратов $m^2 - n^2$.

Результат:

$\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$.

г) Выполним вычитание дробей $\frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a+1}$. Общий знаменатель — $(2a-1)(2a+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{1(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a(2a+1) - (2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}$

Упростим числитель:

$2a(2a+1) - (2a-1) = 4a^2 + 2a - 2a + 1 = 4a^2 + 1$

Знаменатель является разностью квадратов: $(2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$.

Результат:

$\frac{4a^2+1}{4a^2-1}$

Ответ: $\frac{4a^2+1}{4a^2-1}$.

д) Выполним вычитание дробей $\frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2}$. Общий знаменатель — $(a+2)(a-2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{a(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a(a-2) - a(a+2)}{(a+2)(a-2)}$

Упростим числитель:

$a(a-2) - a(a+2) = (a^2 - 2a) - (a^2 + 2a) = a^2 - 2a - a^2 - 2a = -4a$

Знаменатель является разностью квадратов: $a^2 - 4$.

Результат:

$\frac{-4a}{a^2-4}$

Ответ: $\frac{-4a}{a^2-4}$.

е) Выполним вычитание дробей $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{1+3p}$. Заметим, что $1+3p = 3p+1$. Общий знаменатель — $(3p-1)(3p+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{p(3p+1)}{(3p-1)(3p+1)} - \frac{p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)} = \frac{p(3p+1) - p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)}$

Упростим числитель:

$p(3p+1) - p(3p-1) = (3p^2 + p) - (3p^2 - p) = 3p^2 + p - 3p^2 + p = 2p$

Знаменатель является разностью квадратов: $(3p)^2 - 1^2 = 9p^2 - 1$.

Результат:

$\frac{2p}{9p^2-1}$

Ответ: $\frac{2p}{9p^2-1}$.

86. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $\frac{p}{2x+1} - \frac{p}{3x-2}$;

б) $\frac{6a}{x-2y} + \frac{2a}{x+y}$;

в) $\frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}$;

г) $\frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}$.

а)

Исходное выражение: $\frac{p}{2x+1} - \frac{p}{3x-2}$.

Чтобы выполнить вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(3x-2)$, а второй дроби — на $(2x+1)$:

$\frac{p(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} - \frac{p(2x+1)}{(3x-2)(2x+1)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно вычесть числители:

$\frac{p(3x-2) - p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$p(3x-2) - p(2x+1) = 3px - 2p - (2px + p) = 3px - 2p - 2px - p = (3px - 2px) + (-2p - p) = px - 3p$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки в числителе: $p(x-3)$.

В результате получаем:

$\frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$

Ответ: $\frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$.

б)

Исходное выражение: $\frac{6a}{x-2y} + \frac{2a}{x+y}$.

Знаменатели дробей $x-2y$ и $x+y$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $(x-2y)(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+y)$, для второй — $(x-2y)$.

$\frac{6a(x+y)}{(x-2y)(x+y)} + \frac{2a(x-2y)}{(x+y)(x-2y)}$

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{6a(x+y) + 2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$6a(x+y) + 2a(x-2y) = 6ax + 6ay + 2ax - 4ay = (6ax+2ax) + (6ay-4ay) = 8ax + 2ay$

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a(4x+y)$.

Окончательный вид дроби:

$\frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$

Ответ: $\frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$.

в)

Исходное выражение: $\frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}$.

Для нахождения общего знаменателя разложим знаменатели на множители:

$5x-10 = 5(x-2)$

$6x-12 = 6(x-2)$

Выражение принимает вид: $\frac{a}{5(x-2)} + \frac{a}{6(x-2)}$.

Наименьший общий знаменатель для $5(x-2)$ и $6(x-2)$ — это произведение наименьшего общего кратного чисел 5 и 6 на общий множитель $(x-2)$. НОК(5, 6) = 30. Значит, НОЗ равен $30(x-2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $\frac{30(x-2)}{5(x-2)} = 6$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $\frac{30(x-2)}{6(x-2)} = 5$.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

$\frac{a \cdot 6}{30(x-2)} + \frac{a \cdot 5}{30(x-2)} = \frac{6a+5a}{30(x-2)} = \frac{11a}{30(x-2)}$

Ответ: $\frac{11a}{30(x-2)}$.

г)

Исходное выражение: $\frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}$.

Разложим знаменатели на множители:

$12a-36 = 12(a-3)$

$48-16a = 16(3-a)$

Заметим, что $3-a = -(a-3)$. Поэтому знаменатель второй дроби можно переписать как $16(-(a-3)) = -16(a-3)$.

Выражение преобразуется к виду:

$\frac{5b}{12(a-3)} - \frac{b}{-16(a-3)}$

Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе дают "плюс":

$\frac{5b}{12(a-3)} + \frac{b}{16(a-3)}$

Теперь находим общий знаменатель для $12(a-3)$ и $16(a-3)$. Наименьшее общее кратное для 12 и 16 равно 48. Таким образом, НОЗ равен $48(a-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{48}{12} = 4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{48}{16} = 3$.

Выполняем сложение:

$\frac{5b \cdot 4}{48(a-3)} + \frac{b \cdot 3}{48(a-3)} = \frac{20b + 3b}{48(a-3)} = \frac{23b}{48(a-3)}$

Ответ: $\frac{23b}{48(a-3)}$.

81. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $5 - \frac{c}{2};$

б) $5y^2 - \frac{15y^2 - 1}{3};$

в) $a + b - \frac{a - 3}{3};$

г) $\frac{2b^2 - 1}{b} - b + 5.$

а)

Чтобы преобразовать данное выражение в дробь, необходимо привести все его части к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель равен 2. Представим число 5 в виде дроби со знаменателем 2:

$5 = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$5 - \frac{c}{2} = \frac{10}{2} - \frac{c}{2} = \frac{10 - c}{2}$

Ответ: $\frac{10 - c}{2}$

б)

Для преобразования выражения $5y^2 - \frac{15y^2 - 1}{3}$ в дробь найдем общий знаменатель, который равен 3. Представим $5y^2$ в виде дроби со знаменателем 3:

$5y^2 = \frac{5y^2 \cdot 3}{3} = \frac{15y^2}{3}$

Теперь выполним вычитание. Так как перед второй дробью стоит знак "минус", выражение в ее числителе нужно взять в скобки, чтобы правильно раскрыть их в дальнейшем:

$\frac{15y^2}{3} - \frac{15y^2 - 1}{3} = \frac{15y^2 - (15y^2 - 1)}{3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{15y^2 - 15y^2 + 1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в)

Чтобы преобразовать выражение $a + b - \frac{a-3}{3}$ в дробь, приведем слагаемые $(a+b)$ к общему знаменателю 3:

$a + b = \frac{(a+b) \cdot 3}{3} = \frac{3a + 3b}{3}$

Теперь вычтем дроби с одинаковым знаменателем. Обратим внимание на знак "минус" перед дробью и возьмем ее числитель в скобки:

$\frac{3a + 3b}{3} - \frac{a-3}{3} = \frac{(3a + 3b) - (a-3)}{3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{3a + 3b - a + 3}{3} = \frac{2a + 3b + 3}{3}$

Ответ: $\frac{2a + 3b + 3}{3}$

г)

Для преобразования выражения $\frac{2b^2 - 1}{b} - b + 5$ в дробь, приведем все его части к общему знаменателю $b$.

$-b = -\frac{b \cdot b}{b} = -\frac{b^2}{b}$

$5 = \frac{5 \cdot b}{b} = \frac{5b}{b}$

Теперь объединим все части в одну дробь с общим знаменателем $b$:

$\frac{2b^2 - 1}{b} - \frac{b^2}{b} + \frac{5b}{b} = \frac{(2b^2 - 1) - b^2 + 5b}{b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2b^2 - b^2 + 5b - 1}{b} = \frac{b^2 + 5b - 1}{b}$

Ответ: $\frac{b^2 + 5b - 1}{b}$

83. Упростите выражение:

a) $x - \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{4};$

б) $\frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x};$

в) $3 - \frac{2x-y}{4} + \frac{x+4y}{12};$

г) $\frac{6a-4b}{5} - \frac{b+7a}{3} - 2.$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 2 и 4, а также для члена $x$ (который можно представить как $\frac{x}{1}$), равен 4. Умножим числитель и знаменатель каждого члена на соответствующий дополнительный множитель:

$x - \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{4} = \frac{x \cdot 4}{4} - \frac{(x-y) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x+y}{4} = \frac{4x}{4} - \frac{2(x-y)}{4} + \frac{x+y}{4}$

Теперь, когда все члены имеют одинаковый знаменатель, можно объединить их числители:

$\frac{4x - 2(x-y) + (x+y)}{4}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:

$\frac{4x - 2x + 2y + x + y}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x - 2x + x) + (2y + y)}{4} = \frac{3x + 3y}{4}$

Ответ: $\frac{3x+3y}{4}$

б) В этом выражении два слагаемых уже имеют общий знаменатель $x$. Сначала сгруппируем и упростим их. Член $-2$ можно представить как дробь со знаменателем $x$, то есть $\frac{2x}{x}$.

$\frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x} = (\frac{3}{x} - \frac{5}{x}) - 2 = \frac{3-5}{x} - 2 = \frac{-2}{x} - 2$

Чтобы записать выражение в виде одной дроби, приведем $-2$ к знаменателю $x$:

$\frac{-2}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{-2-2x}{x}$

Для более удобной записи можно вынести общий множитель $-2$ в числителе или просто вынести минус перед всей дробью:

$\frac{-2(1+x)}{x}$ или $-\frac{2x+2}{x}$

Ответ: $-\frac{2x+2}{x}$

в) Для упрощения этого выражения необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 4 и 12 является 12. Представим каждый член выражения в виде дроби со знаменателем 12:

$3 - \frac{2x-y}{4} + \frac{x+4y}{12} = \frac{3 \cdot 12}{12} - \frac{(2x-y) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{x+4y}{12} = \frac{36}{12} - \frac{3(2x-y)}{12} + \frac{x+4y}{12}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{36 - 3(2x-y) + (x+4y)}{12}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36 - 6x + 3y + x + 4y}{12}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(-6x + x) + (3y + 4y) + 36}{12} = \frac{-5x + 7y + 36}{12}$

Ответ: $\frac{36-5x+7y}{12}$

г) Чтобы упростить выражение, приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 равен 15. Представим член $-2$ как $\frac{-2}{1}$.

$\frac{6a-4b}{5} - \frac{b+7a}{3} - 2 = \frac{(6a-4b) \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{(b+7a) \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 15}{15} = \frac{3(6a-4b)}{15} - \frac{5(b+7a)}{15} - \frac{30}{15}$

Запишем всё под одним знаменателем:

$\frac{3(6a-4b) - 5(b+7a) - 30}{15}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18a - 12b - 5b - 35a - 30}{15}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(18a - 35a) + (-12b - 5b) - 30}{15} = \frac{-17a - 17b - 30}{15}$

Можно вынести знак минус за скобки в числителе или перед всей дробью:

$-\frac{17a + 17b + 30}{15}$

Ответ: $\frac{-17a-17b-30}{15}$

85. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $ \frac{3x}{5(x+y)} - \frac{2y}{3(x+y)} $

б) $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $

в) $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $

г) $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $

а) Чтобы преобразовать выражение в дробь, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{3x}{5(x+y)} - \frac{2y}{3(x+y)} $

Знаменатели дробей — $5(x+y)$ и $3(x+y)$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $15(x+y)$, поскольку наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 5 и 3 равно 15.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:

Для первой дроби: $ \frac{15(x+y)}{5(x+y)} = 3 $.

Для второй дроби: $ \frac{15(x+y)}{3(x+y)} = 5 $.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание дробей:

$ \frac{3x \cdot 3}{15(x+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(x+y)} = \frac{9x}{15(x+y)} - \frac{10y}{15(x+y)} = \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $

Ответ: $ \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $

б) Преобразуем выражение в дробь, приведя дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $

Знаменатели дробей — $5(a-b)$ и $4(a-b)$. Наименьший общий знаменатель будет $20(a-b)$, так как НОК для чисел 5 и 4 равно 20.

Дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{20(a-b)}{5(a-b)} = 4 $.

Для второй дроби: $ \frac{20(a-b)}{4(a-b)} = 5 $.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$ \frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2}{20(a-b)} - \frac{5b^2}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $

Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $

в) Сначала упростим знаменатели, вынеся общие множители за скобки.

Исходное выражение: $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $

Разложим знаменатели на множители:

$ ax - ay = a(x-y) $

$ by - bx = b(y-x) = -b(x-y) $

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение. Знак "плюс" перед второй дробью изменится на "минус", так как мы вынесли -1 из знаменателя:

$ \frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, который равен $ab(x-y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $b$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $a$.

Выполним преобразование:

$ \frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $

Ответ: $ \frac{3b-2a}{ab(x-y)} $

г) Упростим знаменатели, вынеся общие множители за скобки.

Исходное выражение: $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $

Разложим знаменатели на множители:

$ bm - bn = b(m-n) $

$ cn - cm = c(n-m) = -c(m-n) $

Подставим разложенные знаменатели в выражение. Знак "минус" перед второй дробью изменится на "плюс", так как "минус" на "минус" дает "плюс":

$ \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $bc(m-n)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $c$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $b$.

Приведем к общему знаменателю и сложим числители:

$ \frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $

Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $