Страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

113. Выполните умножение:

а) $ -\frac{10x^2y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy} $;

б) $ \frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot \left(-\frac{7a^2b}{6m}\right) $;

в) $ \frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2n $;

г) $ -ab \cdot \left(-\frac{11x^2}{3a^2b^2}\right) $.

а) Для умножения дробей $-\frac{10x^2y^2}{9a^2}$ и $\frac{27a^3}{5xy}$ перемножим их числители и знаменатели. Знак минус сохраняется перед всем выражением. $-\frac{10x^2y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy} = -\frac{10x^2y^2 \cdot 27a^3}{9a^2 \cdot 5xy}$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, а затем сократим дробь: $-\frac{(10 \cdot 27) \cdot (x^2y^2a^3)}{(9 \cdot 5) \cdot (a^2xy)} = -\frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{9} \cdot x^2y^2a^3}{\cancel{9} \cdot \cancel{5} \cdot a^2xy} = -6 \frac{x^2y^2a^3}{a^2xy}$. Теперь сократим переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{k^m}{k^n} = k^{m-n}$): $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$; $\frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y$; $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-1} = a$. В результате получаем: $-6axy$.
Ответ: $-6axy$.

б) Для умножения $\frac{2m^3}{35a^3b^2}$ на $(-\frac{7a^2b}{6m})$ перемножим дроби. Так как один из множителей отрицательный, произведение будет отрицательным. $\frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot (-\frac{7a^2b}{6m}) = -\frac{2m^3 \cdot 7a^2b}{35a^3b^2 \cdot 6m} = -\frac{(2 \cdot 7) \cdot (m^3a^2b)}{(35 \cdot 6) \cdot (a^3b^2m)}$. Сократим числовые коэффициенты: $2$ и $6$ на $2$ (получаем $1$ и $3$), $7$ и $35$ на $7$ (получаем $1$ и $5$). $-\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{7} \cdot m^3a^2b}{(\cancel{7} \cdot 5) \cdot a^3b^2 \cdot (\cancel{2} \cdot 3) \cdot m} = -\frac{m^3a^2b}{15a^3b^2m}$. Сократим переменные: $\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$; $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$; $\frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$. Переменная $m^2$ остается в числителе, а $a$ и $b$ — в знаменателе.
Ответ: $-\frac{m^2}{15ab}$.

в) Для умножения дроби $\frac{13x}{12mn^2}$ на одночлен $4m^2n$ представим одночлен в виде дроби $\frac{4m^2n}{1}$. $\frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2n = \frac{13x}{12mn^2} \cdot \frac{4m^2n}{1} = \frac{13x \cdot 4m^2n}{12mn^2}$. Сократим числовые коэффициенты $4$ и $12$ на $4$: $\frac{13x \cdot \cancel{4}m^2n}{\cancel{12}_3mn^2} = \frac{13xm^2n}{3mn^2}$. Сократим переменные: $\frac{m^2}{m} = m$; $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$. Собираем итоговое выражение.
Ответ: $\frac{13mx}{3n}$.

г) Для умножения $-ab$ на $(-\frac{11x^2}{3a^2b^2})$ заметим, что произведение двух отрицательных выражений положительно. $-ab \cdot (-\frac{11x^2}{3a^2b^2}) = ab \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2}$. Представим $ab$ как дробь $\frac{ab}{1}$ и перемножим: $\frac{ab}{1} \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2} = \frac{ab \cdot 11x^2}{3a^2b^2} = \frac{11abx^2}{3a^2b^2}$. Числовые коэффициенты $11$ и $3$ взаимно простые и не сокращаются. Сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$; $\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}$. Переменная $x^2$ остается в числителе.
Ответ: $\frac{11x^2}{3ab}$.

115. Возведите в степень:

а) $(\frac{x}{2y})^3;$

б) $(\frac{3a}{c})^4;$

в) $(\frac{n^2}{10m})^3;$

г) $(\frac{9a^3}{2b^2})^2.$

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это следует из свойства степени: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Также будем использовать свойства степени для произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и для степени в степени $(a^m)^n = a^{mn}$.

а)

Возведем в куб (третью степень) дробь $\frac{x}{2y}$. Для этого нужно возвести в куб числитель и знаменатель:

$\left(\frac{x}{2y}\right)^3 = \frac{x^3}{(2y)^3}$

Теперь возведем в куб знаменатель, используя свойство степени произведения:

$(2y)^3 = 2^3 \cdot y^3 = 8y^3$

Собираем все вместе:

$\frac{x^3}{8y^3}$

Ответ: $\frac{x^3}{8y^3}$

б)

Возведем в четвертую степень дробь $\frac{3a}{c}$. Для этого нужно возвести в четвертую степень числитель и знаменатель:

$\left(\frac{3a}{c}\right)^4 = \frac{(3a)^4}{c^4}$

Возведем в степень числитель, используя свойство степени произведения:

$(3a)^4 = 3^4 \cdot a^4 = 81a^4$

Собираем все вместе:

$\frac{81a^4}{c^4}$

Ответ: $\frac{81a^4}{c^4}$

в)

Возведем в куб (третью степень) дробь $\frac{n^2}{10m}$. Для этого возводим в куб числитель и знаменатель:

$\left(\frac{n^2}{10m}\right)^3 = \frac{(n^2)^3}{(10m)^3}$

Для числителя используем свойство возведения степени в степень:

$(n^2)^3 = n^{2 \cdot 3} = n^6$

Для знаменателя используем свойство степени произведения:

$(10m)^3 = 10^3 \cdot m^3 = 1000m^3$

Собираем все вместе:

$\frac{n^6}{1000m^3}$

Ответ: $\frac{n^6}{1000m^3}$

г)

Возведем в квадрат (вторую степень) дробь $\frac{9a^3}{2b^2}$. Для этого возводим в квадрат числитель и знаменатель:

$\left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)^2 = \frac{(9a^3)^2}{(2b^2)^2}$

Возводим в квадрат числитель и знаменатель по отдельности, используя свойства степени произведения и возведения степени в степень:

$(9a^3)^2 = 9^2 \cdot (a^3)^2 = 81 \cdot a^{3 \cdot 2} = 81a^6$

$(2b^2)^2 = 2^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot b^{2 \cdot 2} = 4b^4$

Собираем все вместе:

$\frac{81a^6}{4b^4}$

Ответ: $\frac{81a^6}{4b^4}$

117. Представьте в виде дроби:

а) $ \left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)^4; $

б) $ \left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^5; $

в) $ \left(-\frac{10m^2}{n^2p}\right)^3; $

г) $ \left(-\frac{b^3c^2}{8a^3}\right)^2. $

а)

Для того чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Применяем правило возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(\frac{5a^3}{3b^2})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4} = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4} = \frac{625a^{3 \cdot 4}}{81b^{2 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8}$

Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, возводим в пятую степень числитель и знаменатель дроби.

$(\frac{2x^2}{3y^3})^5 = \frac{(2x^2)^5}{(3y^3)^5} = \frac{2^5 \cdot (x^2)^5}{3^5 \cdot (y^3)^5} = \frac{32x^{2 \cdot 5}}{243y^{3 \cdot 5}} = \frac{32x^{10}}{243y^{15}}$

Ответ: $\frac{32x^{10}}{243y^{15}}$

в)

При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (в данном случае в куб), результат будет отрицательным. Знак минус можно вынести за скобки.

$(-\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -(\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -\frac{(10m^2)^3}{(n^2p)^3} = -\frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{(n^2)^3 \cdot p^3} = -\frac{1000m^{2 \cdot 3}}{n^{2 \cdot 3}p^3} = -\frac{1000m^6}{n^6p^3}$

Ответ: $-\frac{1000m^6}{n^6p^3}$

г)

При возведении отрицательной дроби в четную степень (в данном случае в квадрат), результат будет положительным, так как минус на минус дает плюс.

$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2} = \frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2} = \frac{b^{3 \cdot 2}c^{2 \cdot 2}}{64a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$

Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$

119. Выполните умножение:

а) $\frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x}$;

б) $\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9}$;

в) $\frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn - m^2}$;

г) $\frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab}$;

д) $\frac{ma - mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb - na}$;

е) $\frac{ax - ay}{5x^2 y^2} \cdot \left( -\frac{5xy}{by - bx} \right)$.

а) Чтобы выполнить умножение дробей, умножим их числители и знаменатели. Сначала разложим числитель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x(x - y)}{y} \cdot \frac{y^2}{x}$

Теперь перемножим дроби и сократим общие множители $x$ и $y$:

$\frac{x(x - y) \cdot y^2}{y \cdot x} = \frac{\cancel{x}(x - y) \cdot y^{\cancel{2}}}{\cancel{y} \cdot \cancel{x}} = (x - y) \cdot y = y(x - y)$

Ответ: $y(x - y)$

б) Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки:

$\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab+b^2}{9} = \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b(a+b)}{9}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $3$ и $b$:

$\frac{3a \cdot b(a+b)}{b^2 \cdot 9} = \frac{\cancel{3}a \cdot \cancel{b}(a+b)}{b^{\cancel{2}} \cdot \cancel{9}_3} = \frac{a(a+b)}{3b}$

Ответ: $\frac{a(a+b)}{3b}$

в) Разложим на множители знаменатель второй дроби. Обратим внимание, что $mn - m^2 = m(n-m)$, а $n-m = -(m-n)$:

$\frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn-m^2} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{m(n-m)} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{-m(m-n)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $mn$ и $(m-n)$:

$\frac{(m-n) \cdot 2mn}{mn \cdot (-m(m-n))} = \frac{\cancel{(m-n)} \cdot 2\cancel{mn}}{\cancel{mn} \cdot (-m)\cancel{(m-n)}} = \frac{2}{-m} = -\frac{2}{m}$

Ответ: $-\frac{2}{m}$

г) Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{4ab}{cx+dx} \cdot \frac{ax+bx}{2ab} = \frac{4ab}{x(c+d)} \cdot \frac{x(a+b)}{2ab}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $x$ и $2ab$ (учитывая, что $4ab = 2 \cdot 2ab$):

$\frac{4ab \cdot x(a+b)}{x(c+d) \cdot 2ab} = \frac{\cancel{4ab}_2 \cdot \cancel{x}(a+b)}{\cancel{x}(c+d) \cdot \cancel{2ab}} = \frac{2(a+b)}{c+d}$

Ответ: $\frac{2(a+b)}{c+d}$

д) Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Обратим внимание, что $nb-na = n(b-a)$, а $b-a = -(a-b)$:

$\frac{ma-mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb-na} = \frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{n(b-a)} = \frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{-n(a-b)}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{m(a-b) \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n(a-b))} = \frac{m\cancel{(a-b)} \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n)\cancel{(a-b)}} = \frac{2m^2}{-3n^3} = -\frac{2m^2}{3n^3}$

Ответ: $-\frac{2m^2}{3n^3}$

е) Сначала преобразуем вторую дробь, внеся знак минус в знаменатель: $-\frac{5xy}{by-bx} = \frac{5xy}{-(by-bx)} = \frac{5xy}{bx-by}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{ax-ay}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{bx-by}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$\frac{a(x-y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{b(x-y)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $5$, $x$, $y$ и $(x-y)$:

$\frac{a(x-y) \cdot 5xy}{5x^2y^2 \cdot b(x-y)} = \frac{a\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{5}\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{5}x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}} \cdot b\cancel{(x-y)}} = \frac{a}{xy \cdot b} = \frac{a}{bxy}$

Ответ: $\frac{a}{bxy}$

121. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{xy}{a^2+a^3} \cdot \frac{a+a^2}{x^2y^2}$;

б) $\frac{6a}{x^2-x} \cdot \frac{2x-2}{3ax}$

а) $ \frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2} $

Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели:

$ \frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2} = \frac{xy \cdot (a + a^2)}{(a^2 + a^3) \cdot x^2y^2} $

Для упрощения дроби разложим на множители выражения в числителе и знаменателе. Для этого вынесем общие множители за скобки:

В числителе: $ a + a^2 = a(1 + a) $

В знаменателе: $ a^2 + a^3 = a^2(1 + a) $

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{xy \cdot a(1 + a)}{a^2(1 + a) \cdot x^2y^2} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $ a $, $ (1+a) $, $ x $ и $ y $. После сокращения получаем:

$ \frac{\cancel{x}\cancel{y} \cdot \cancel{a}(\cancel{1 + a})}{\cancel{a} \cdot a \cdot (\cancel{1 + a}) \cdot x \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{y}} = \frac{1}{a \cdot x \cdot y} = \frac{1}{axy} $

Ответ: $ \frac{1}{axy} $

б) $ \frac{6a}{x^2 - x} \cdot \frac{2x - 2}{3ax} $

Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй:

$ \frac{6a \cdot (2x - 2)}{(x^2 - x) \cdot 3ax} $

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе для последующего сокращения. Вынесем общие множители за скобки:

В числителе: $ 2x - 2 = 2(x - 1) $

В знаменателе: $ x^2 - x = x(x - 1) $

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{6a \cdot 2(x - 1)}{x(x - 1) \cdot 3ax} $

Объединим числовые и буквенные множители:

$ \frac{12a(x - 1)}{3ax^2(x - 1)} $

Сократим общие множители $ 3 $, $ a $ и $ (x - 1) $. Также сократим числовые коэффициенты $ 12 $ и $ 3 $ на $ 3 $:

$ \frac{\cancel{12}^4 \cancel{a} (\cancel{x - 1})}{\cancel{3} \cancel{a} x^2 (\cancel{x - 1})} = \frac{4}{x^2} $

Ответ: $ \frac{4}{x^2} $

114. Упростите выражение:

а) $ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} $

б) $ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} $

а)

Для упрощения данного выражения необходимо перемножить числители и знаменатели дробей, а затем сократить полученную дробь, сокращая общие множители.

Исходное выражение: $$ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} $$

Сначала запишем все множители в одну дробь, перемножив числители и знаменатели соответственно: $$ \frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} $$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, чтобы упростить их: $$ \frac{(2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y}{(3 \cdot 4 \cdot 15) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot x \cdot y} $$

Выполним умножение коэффициентов и сложение степеней для переменных: $$ \frac{36 \cdot a^{2+1} \cdot b^1 \cdot x^{2+1} \cdot y^1}{180 \cdot a^1 \cdot b^{2+2} \cdot x^1 \cdot y^1} = \frac{36a^3bx^3y}{180ab^4xy} $$

Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $$ \frac{36}{180} = \frac{36}{5 \cdot 36} = \frac{1}{5} $$

Сократим переменные, используя правило деления степеней $ \frac{c^m}{c^n} = c^{m-n} $: $$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $$ $$ \frac{b}{b^4} = b^{1-4} = b^{-3} = \frac{1}{b^3} $$ $$ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $$ $$ \frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1 $$

Объединим все упрощенные части: $$ \frac{1}{5} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot x^2 \cdot 1 = \frac{a^2x^2}{5b^3} $$

Ответ: $ \frac{a^2x^2}{5b^3} $

б)

Упростим выражение, аналогично предыдущему пункту, перемножив дроби и сократив общие множители.

Исходное выражение: $$ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} $$

Запишем произведение в виде одной дроби: $$ \frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6} $$

Сгруппируем коэффициенты и переменные: $$ \frac{(6 \cdot 49 \cdot 5) \cdot (m^3 \cdot m^4) \cdot (n^2 \cdot n^4) \cdot p^2}{(35 \cdot 42) \cdot m^5 \cdot n^6 \cdot (p^3 \cdot p^3)} $$

Выполним умножение и сложение степеней: $$ \frac{1470 \cdot m^{3+4} \cdot n^{2+4} \cdot p^2}{1470 \cdot m^5 \cdot n^6 \cdot p^{3+3}} = \frac{1470m^7n^6p^2}{1470m^5n^6p^6} $$

Сократим числовые коэффициенты. Они равны, поэтому их отношение равно 1: $$ \frac{1470}{1470} = 1 $$

Сократим переменные: $$ \frac{m^7}{m^5} = m^{7-5} = m^2 $$ $$ \frac{n^6}{n^6} = n^{6-6} = n^0 = 1 $$ $$ \frac{p^2}{p^6} = p^{2-6} = p^{-4} = \frac{1}{p^4} $$

Соберем все части вместе, чтобы получить окончательный результат: $$ 1 \cdot m^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^4} = \frac{m^2}{p^4} $$

Ответ: $ \frac{m^2}{p^4} $

116. Возведите в степень:

а) $\left(\frac{2a}{p^2 q^3}\right)^4$;

б) $\left(\frac{3a^2 b^3}{s^4}\right)^2$;

в) $\left(-\frac{2a^2 b}{3mn^3}\right)^2$;

г) $\left(-\frac{3x^2}{2y^3}\right)^3$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель в числителе и знаменателе. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$\left(\frac{2a}{p^2q^3}\right)^4 = \frac{(2a)^4}{(p^2q^3)^4} = \frac{2^4 \cdot a^4}{(p^2)^4 \cdot (q^3)^4} = \frac{16a^4}{p^{2 \cdot 4}q^{3 \cdot 4}} = \frac{16a^4}{p^8q^{12}}$

Ответ: $\frac{16a^4}{p^8q^{12}}$

б) Применим те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

$\left(\frac{3a^2b^3}{s^4}\right)^2 = \frac{(3a^2b^3)^2}{(s^4)^2} = \frac{3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2}{(s^4)^2} = \frac{9a^{2 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}}{s^{4 \cdot 2}} = \frac{9a^4b^6}{s^8}$

Ответ: $\frac{9a^4b^6}{s^8}$

в) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае, в квадрат), знак минус исчезает, так как $(-1)^2 = 1$.

$\left(-\frac{2a^2b}{3mn^3}\right)^2 = \left(\frac{2a^2b}{3mn^3}\right)^2 = \frac{(2a^2b)^2}{(3mn^3)^2} = \frac{2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2}{3^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2} = \frac{4a^{2 \cdot 2}b^2}{9m^2n^{3 \cdot 2}} = \frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}$

Ответ: $\frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}$

г) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае, в куб), знак минус сохраняется, так как $(-1)^3 = -1$.

$\left(-\frac{3x^2}{2y^3}\right)^3 = - \left(\frac{3x^2}{2y^3}\right)^3 = - \frac{(3x^2)^3}{(2y^3)^3} = - \frac{3^3 \cdot (x^2)^3}{2^3 \cdot (y^3)^3} = - \frac{27x^{2 \cdot 3}}{8y^{3 \cdot 3}} = -\frac{27x^6}{8y^9}$

Ответ: $-\frac{27x^6}{8y^9}$

118. Зная, что $a - \frac{5}{a} = 2$, найдите значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$.

Нам дано равенство $a - \frac{5}{a} = 2$. Необходимо найти значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$.

Для того чтобы связать данное и искомое выражения, возведем обе части исходного равенства в квадрат.

$(a - \frac{5}{a})^2 = 2^2$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части уравнения, приняв $x=a$ и $y=\frac{5}{a}$, получим:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{5}{a} + (\frac{5}{a})^2 = 4$

Упростим выражение в левой части:

$a^2 - 2 \cdot 5 + \frac{25}{a^2} = 4$

$a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4$

Теперь мы можем выразить искомую величину $a^2 + \frac{25}{a^2}$, перенеся член $-10$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 4 + 10$

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 14$

Ответ: 14

120. Выполните умножение:

а) $(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2};$

б) $(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2};$

В) $\frac{y}{3y^2 - 12} \cdot (y^2 - 4y + 4);$

Г) $\frac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 - 9b^2).$

а) Для того чтобы выполнить умножение $(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2}$, необходимо разложить на множители выражения в скобках и в знаменателе дроби.
В выражении $(3a - 15b)$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3a - 15b = 3(a - 5b)$.
Знаменатель $a^2 - 25b^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
Теперь подставим полученные выражения в исходный пример и произведем умножение:
$(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2} = \frac{3(a - 5b)}{1} \cdot \frac{8}{(a - 5b)(a + 5b)} = \frac{3(a - 5b) \cdot 8}{(a - 5b)(a + 5b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a - 5b)$:
$\frac{3 \cdot 8}{a + 5b} = \frac{24}{a + 5b}$.
Ответ: $\frac{24}{a + 5b}$

б) Чтобы выполнить умножение $(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2}$, разложим на множители выражение $(x^2 - 4)$.
Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, поэтому:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Знаменатель дроби $(x+2)^2$ можно записать как произведение $(x+2)(x+2)$.
Подставим разложенные выражения и выполним умножение:
$(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{1} \cdot \frac{2x}{(x + 2)(x + 2)} = \frac{(x - 2)(x + 2) \cdot 2x}{(x + 2)(x + 2)}$.
Сократим общий множитель $(x+2)$:
$\frac{(x - 2) \cdot 2x}{x + 2} = \frac{2x(x - 2)}{x + 2}$.
Ответ: $\frac{2x(x - 2)}{x + 2}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{y}{3y^2 - 12} \cdot (y^2 - 4y + 4)$. Для упрощения разложим на множители знаменатель дроби и выражение в скобках.
В знаменателе $3y^2 - 12$ вынесем общий множитель 3, а затем разложим получившуюся разность квадратов:
$3y^2 - 12 = 3(y^2 - 4) = 3(y - 2)(y + 2)$.
Выражение $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$.
Перепишем исходное выражение с разложенными множителями:
$\frac{y}{3(y - 2)(y + 2)} \cdot \frac{(y - 2)^2}{1} = \frac{y \cdot (y-2)(y-2)}{3(y - 2)(y + 2)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$:
$\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$.
Ответ: $\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$

г) В выражении $\frac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 - 9b^2)$ разложим на множители знаменатель и второй множитель.
Знаменатель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности:
$a^2 - 6ab + 9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$.
Второй множитель $a^2 - 9b^2$ является разностью квадратов:
$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.
Теперь выполним умножение, подставив разложенные выражения:
$\frac{2ab}{(a - 3b)^2} \cdot \frac{(a - 3b)(a + 3b)}{1} = \frac{2ab \cdot (a - 3b)(a + 3b)}{(a - 3b)(a - 3b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-3b)$:
$\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$.
Ответ: $\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$