Номер 119, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 119, страница 31.

119. Выполните умножение:

а) $\frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x}$;

б) $\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9}$;

в) $\frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn - m^2}$;

г) $\frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab}$;

д) $\frac{ma - mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb - na}$;

е) $\frac{ax - ay}{5x^2 y^2} \cdot \left( -\frac{5xy}{by - bx} \right)$.

а) Чтобы выполнить умножение дробей, умножим их числители и знаменатели. Сначала разложим числитель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x(x - y)}{y} \cdot \frac{y^2}{x}$

Теперь перемножим дроби и сократим общие множители $x$ и $y$:

$\frac{x(x - y) \cdot y^2}{y \cdot x} = \frac{\cancel{x}(x - y) \cdot y^{\cancel{2}}}{\cancel{y} \cdot \cancel{x}} = (x - y) \cdot y = y(x - y)$

Ответ: $y(x - y)$

б) Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки:

$\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab+b^2}{9} = \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b(a+b)}{9}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $3$ и $b$:

$\frac{3a \cdot b(a+b)}{b^2 \cdot 9} = \frac{\cancel{3}a \cdot \cancel{b}(a+b)}{b^{\cancel{2}} \cdot \cancel{9}_3} = \frac{a(a+b)}{3b}$

Ответ: $\frac{a(a+b)}{3b}$

в) Разложим на множители знаменатель второй дроби. Обратим внимание, что $mn - m^2 = m(n-m)$, а $n-m = -(m-n)$:

$\frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn-m^2} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{m(n-m)} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{-m(m-n)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $mn$ и $(m-n)$:

$\frac{(m-n) \cdot 2mn}{mn \cdot (-m(m-n))} = \frac{\cancel{(m-n)} \cdot 2\cancel{mn}}{\cancel{mn} \cdot (-m)\cancel{(m-n)}} = \frac{2}{-m} = -\frac{2}{m}$

Ответ: $-\frac{2}{m}$

г) Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{4ab}{cx+dx} \cdot \frac{ax+bx}{2ab} = \frac{4ab}{x(c+d)} \cdot \frac{x(a+b)}{2ab}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $x$ и $2ab$ (учитывая, что $4ab = 2 \cdot 2ab$):

$\frac{4ab \cdot x(a+b)}{x(c+d) \cdot 2ab} = \frac{\cancel{4ab}_2 \cdot \cancel{x}(a+b)}{\cancel{x}(c+d) \cdot \cancel{2ab}} = \frac{2(a+b)}{c+d}$

Ответ: $\frac{2(a+b)}{c+d}$

д) Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Обратим внимание, что $nb-na = n(b-a)$, а $b-a = -(a-b)$:

$\frac{ma-mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb-na} = \frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{n(b-a)} = \frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{-n(a-b)}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{m(a-b) \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n(a-b))} = \frac{m\cancel{(a-b)} \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n)\cancel{(a-b)}} = \frac{2m^2}{-3n^3} = -\frac{2m^2}{3n^3}$

Ответ: $-\frac{2m^2}{3n^3}$

е) Сначала преобразуем вторую дробь, внеся знак минус в знаменатель: $-\frac{5xy}{by-bx} = \frac{5xy}{-(by-bx)} = \frac{5xy}{bx-by}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{ax-ay}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{bx-by}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$\frac{a(x-y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{b(x-y)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $5$, $x$, $y$ и $(x-y)$:

$\frac{a(x-y) \cdot 5xy}{5x^2y^2 \cdot b(x-y)} = \frac{a\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{5}\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{5}x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}} \cdot b\cancel{(x-y)}} = \frac{a}{xy \cdot b} = \frac{a}{bxy}$

Ответ: $\frac{a}{bxy}$