Номер 123, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 123, страница 32.

123. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a};$

б) $\frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 - 4c^2};$

в) $\frac{(x + 3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9};$

г) $\frac{(5 - y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10}.$

а)

Исходное выражение: $ \frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} $.
Для упрощения этого выражения, сначала разложим числители и знаменатели дробей на множители.
Числитель первой дроби, $ a^2-1 $, является разностью квадратов: $ a^2-1 = (a-1)(a+1) $.
Числитель второй дроби, $ 7a-7b $, упрощается вынесением общего множителя 7: $ 7a-7b = 7(a-b) $.
Знаменатель второй дроби, $ a^2+a $, упрощается вынесением общего множителя a: $ a^2+a = a(a+1) $.
Знаменатель первой дроби, $ a-b $, уже представлен в простейшем виде.
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$ \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)} $
Теперь перемножим дроби, объединив числители и знаменатели:
$ \frac{(a-1)(a+1) \cdot 7(a-b)}{(a-b) \cdot a(a+1)} $
Сократим общие множители $ (a-b) $ и $ (a+1) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{7(a-1)}{a} $
Это и есть окончательный вид дроби.

Ответ: $ \frac{7(a-1)}{a} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{b^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Числитель первой дроби: $ b^2+2bc = b(b+2c) $.
Числитель второй дроби: $ 5b+15 = 5(b+3) $.
Знаменатель первой дроби, $ b+3 $, уже упрощен.
Знаменатель второй дроби, $ b^2-4c^2 $, является разностью квадратов: $ b^2-(2c)^2 = (b-2c)(b+2c) $.
Подставим разложенные выражения в исходное произведение:
$ \frac{b(b+2c)}{b+3} \cdot \frac{5(b+3)}{(b-2c)(b+2c)} $
Перемножим дроби:
$ \frac{b(b+2c) \cdot 5(b+3)}{(b+3) \cdot (b-2c)(b+2c)} $
Сократим общие множители $ (b+3) $ и $ (b+2c) $:
$ \frac{5b}{b-2c} $

Ответ: $ \frac{5b}{b-2c} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{(x+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{3x+9} $.
Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: $ (x+3)^2 = (x+3)(x+3) $.
Знаменатель первой дроби: $ 2x-4 = 2(x-2) $.
Числитель второй дроби (разность квадратов): $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
Знаменатель второй дроби: $ 3x+9 = 3(x+3) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(x+3)(x+3)}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)} $
Перемножим дроби:
$ \frac{(x+3)(x+3)(x-2)(x+2)}{2(x-2) \cdot 3(x+3)} $
Сократим общие множители $ (x+3) $ и $ (x-2) $:
$ \frac{(x+3)(x+2)}{2 \cdot 3} $
Упростим знаменатель:
$ \frac{(x+3)(x+2)}{6} $

Ответ: $ \frac{(x+3)(x+2)}{6} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{(5-y)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} $.
Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: $ (5-y)^2 $. Заметим, что $ (5-y)^2 = (-(y-5))^2 = (y-5)^2 $.
Знаменатель первой дроби: $ 2y+12 = 2(y+6) $.
Числитель второй дроби (разность квадратов): $ y^2-36 = (y-6)(y+6) $.
Знаменатель второй дроби: $ 2y-10 = 2(y-5) $.
Подставим разложенные выражения, используя $ (y-5)^2 $ для удобства сокращения:
$ \frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} $
Перемножим дроби:
$ \frac{(y-5)(y-5)(y-6)(y+6)}{2(y+6) \cdot 2(y-5)} $
Сократим общие множители $ (y+6) $ и один из множителей $ (y-5) $:
$ \frac{(y-5)(y-6)}{2 \cdot 2} $
Упростим знаменатель:
$ \frac{(y-5)(y-6)}{4} $

Ответ: $ \frac{(y-5)(y-6)}{4} $